取集合[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]为实数域[tex=0.786x1.0]czmpOvTmaMgRl7StPBE3ig==[/tex]，数域为有理数域[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]。集合[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]的向量加法规定为实数的加法，纯量与向量的乘法规定为有理数与实数的乘法，则[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]成为有理数域[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]上的线性空间。证明：在线性空间[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]中，实数1与[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]线性无关的充分必要条件是，[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]为无理数。
举一反三
- 判断以下的集合[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]关于所规定的运算是否成为线性空间：取[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]为所有满足[tex=3.857x1.357]oqVqog3gnPIgJ2/mDaTUTQ==[/tex]的实函数集合；数域[tex=0.643x1.0]SrAoc7XdpRH4/IzfgfsX9A==[/tex]为实数域[tex=0.786x1.0]PVslpAANJzLHVma1Qw92aQ==[/tex]；向量的加法规定为函数的加法；纯量与向量的乘法规定为实数与函数的乘法。
- 判断以下的集合[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]关于所规定的运算是否成为线性空间：取[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]是数域[tex=0.643x1.0]SrAoc7XdpRH4/IzfgfsX9A==[/tex]上的所有[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶可逆方阵的集合；取数域为[tex=0.643x1.0]SrAoc7XdpRH4/IzfgfsX9A==[/tex]； 向量的加法规定为矩阵的加法，纯量与向量的乘法规定为纯量与矩阵的乘法。
- 设[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]维实线性空间，如果保留[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]的向量加法，但在纯量[tex=0.643x1.0]+D9NhKovEP8INGz+KZnr1A==[/tex]乘以向量时，限定纯量[tex=0.643x1.0]+D9NhKovEP8INGz+KZnr1A==[/tex]只取有理数，如此得到的有理域[tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex]上的线性空间记为[tex=0.857x1.286]sos4fU8pEpLIyOuQ2cEmLI7ajGwKeRm0wVzPEibgiW0=[/tex]。线性空间[tex=0.857x1.286]sos4fU8pEpLIyOuQ2cEmLI7ajGwKeRm0wVzPEibgiW0=[/tex]是否是有限维的？
- 判断以下的集合[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]关于所规定的运算是否成为线性空间：取[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]为数域[tex=0.643x1.0]SrAoc7XdpRH4/IzfgfsX9A==[/tex]上的所有幕等方阵的集合; 数域取为[tex=0.643x1.0]SrAoc7XdpRH4/IzfgfsX9A==[/tex]；向量的加法规定为矩阵的加法，纯量与向量的乘法规定为纯量与矩阵的乘法。
- 判断以下的集合[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]关于所规定的运算是否成为线性空间：取[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]是所有满足[tex=2.714x1.214]aX6XLJmnlrW/wWjeMPW62Q==[/tex]的有序[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]元实数组[tex=5.929x1.357]TASgeax8JPipKY1zvB3ZBmMEzx7q7j/UR1YZ6ry2qVtNVtHHNbkuqJsnNpZD/zq/[/tex]的集合；数域[tex=0.643x1.0]SrAoc7XdpRH4/IzfgfsX9A==[/tex]为实数域[tex=0.786x1.0]PVslpAANJzLHVma1Qw92aQ==[/tex]；向量的加法与纯量与向量的乘法和[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]维实向量空间[tex=1.214x1.071]CELXPK6OGLmzP1N4H/u0zZXqplIhMR0g1b8jScnua08=[/tex]相同。