取集合[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]为实数域[tex=0.786x1.0]czmpOvTmaMgRl7StPBE3ig==[/tex]，数域为有理数域[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]。集合[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]的向量加法规定为实数的加法，纯量与向量的乘法规定为有理数与实数的乘法，则[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]成为有理数域[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]上的线性空间。证明：在线性空间[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]中，实数1与[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]线性无关的充分必要条件是，[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]为无理数。

2022-06-19

取集合[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]为实数域[tex=0.786x1.0]czmpOvTmaMgRl7StPBE3ig==[/tex]，数域为有理数域[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]。集合[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]的向量加法规定为实数的加法，纯量与向量的乘法规定为有理数与实数的乘法，则[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]成为有理数域[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]上的线性空间。证明：在线性空间[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]中，实数1与[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]线性无关的充分必要条件是，[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]为无理数。

答案：

证：必要性。若实数1与[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]线性无关， 采用反证法。假设[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]是有理数，即[tex=2.357x2.357]0rd4FmGmS3/nMD3juH3EYLISSIhw8kqoY84P8zJvf4k=[/tex]，其中[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]，[tex=0.5x1.0]NSsYk+dfiqXGkmCPT5DyRg==[/tex]为有理数且[tex=2.286x1.286]GUj6LdcIgyE04Nil9gYMkw==[/tex]。我们有[tex=4.429x1.214]ectMm1X3w8/mLDUY1ZOSvw==[/tex]，矛盾。因此[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]为无理数。充分性。若[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]为无理数，设[tex=4.571x1.214]RIC96wAmskLhve0MAm7wlSYT7gl+M+6UXSSXqjNOiKIDDWO8YiG9HOvVgYUmU0od[/tex]，则[tex=1.0x1.214]7FtwZrJoM7Vl96Gk9KTh+Q==[/tex]必为零，否则[tex=3.571x2.571]4vRpBMd/wB/DPZrN1+oJ+CYK7JXZRUgImRqiKCKsOHoN0DMuIYcxxF84buVxTbsS[/tex]为有理数，矛盾。进而[tex=2.214x1.214]MWmv2jwD/s4qzwxZR0aWeA==[/tex]，故实数1与[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]线性无关。

举一反三

内容

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判断以下的集合[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]关于所规定的运算是否成为线性空间：取[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]为所有定义在实轴上且满足[tex=5.286x1.571]3TvlJO3ML8A8HX6MNXnj1RxHMVKD7bS5DGjqMS+Tupo=[/tex]的复函数集合，其中[tex=0.5x0.857]NRi3wsowr1DPk4leAmkUhw==[/tex]表示复数[tex=0.5x0.786]C7x+w8+jOPZzxFrGGne6Dw==[/tex]的共轭；取数域[tex=0.643x1.0]SrAoc7XdpRH4/IzfgfsX9A==[/tex]为实数域[tex=0.786x1.0]PVslpAANJzLHVma1Qw92aQ==[/tex]；向量的加法规定为函数的加法，纯量与向量的乘法规定为复数与函数的乘法。
1
判断以下的集合[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]关于所规定的运算是否成为线性空间：给定数域[tex=0.643x1.0]SrAoc7XdpRH4/IzfgfsX9A==[/tex]上的[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶方阵[tex=1.143x1.214]pNJpBa/e+Ktsq7qT7Bd3Gw==[/tex]，取[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]是所有满足[tex=4.5x1.214]NN6EOOpQAQ6h07t1ouRL/czqRiijPRK4JWA6JJEfI4s=[/tex]的数域[tex=0.643x1.0]SrAoc7XdpRH4/IzfgfsX9A==[/tex]上的[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶方阵[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]的集合；取数域为[tex=0.643x1.0]SrAoc7XdpRH4/IzfgfsX9A==[/tex]；向量的加法规定为矩阵的加法，纯量与向量的乘法规定为纯量与矩阵的乘法。
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判断以下的集合[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]关于所规定的运算是否成为线性空间：取[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]是所有定义在实轴上的复值函数；数域[tex=0.643x1.0]SrAoc7XdpRH4/IzfgfsX9A==[/tex]为复数域[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex]；向量的加法规定为函数的加法，纯量与向量的乘法规定为复数与函数的乘法。
3
设[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]所有实函数构成的实数域[tex=0.786x1.0]czmpOvTmaMgRl7StPBE3ig==[/tex]上的线性空间，证明下面向量线性无关：[tex=2.0x1.0]ubrWKbcUVEQuMvQ4FwhN9g==[/tex]，[tex=2.143x0.786]Qx7dC9nSijugfa1AdWsWqg==[/tex]。
4
设[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]所有实函数构成的实数域[tex=0.786x1.0]czmpOvTmaMgRl7StPBE3ig==[/tex]上的线性空间，证明下面向量线性无关：[tex=1.5x1.0]F3xJTFM3YEGpemuHRrdS/w==[/tex]，[tex=1.286x1.214]avRGzUj1wBzmf3NnE5zAOA==[/tex]。