设[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是[tex=2.143x1.357]dWatJMLI7pN/xzYgReR9Ug==[/tex]中[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]次首 1 不可约多项式, [tex=0.643x0.786]cnVwa8IjZzNSEmAUXJ8VCQ==[/tex]为[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]的一个根. 则[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]是使得[tex=3.5x1.214]ZIIW/U/L97imMX2QLWOiNw==[/tex]的最小正整数.

2022-06-19

设[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是[tex=2.143x1.357]dWatJMLI7pN/xzYgReR9Ug==[/tex]中[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]次首 1 不可约多项式, [tex=0.643x0.786]cnVwa8IjZzNSEmAUXJ8VCQ==[/tex]为[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]的一个根. 则[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]是使得[tex=3.5x1.214]ZIIW/U/L97imMX2QLWOiNw==[/tex]的最小正整数.

答案：

因[tex=3.571x1.357]RHdpjIJkcyvVoOdpVOr3nQ==[/tex]且[tex=2.357x1.357]0VK3/N/fLOoUyml49ohHEw==[/tex]是[tex=1.0x1.214]zzT3if35g0aUdWH096AT6A==[/tex]元域, 故[tex=3.5x1.214]ZIIW/U/L97imMX2QLWOiNw==[/tex]. 若[tex=4.929x1.429]bIIGPuvKQ5qJ8rg3Y/t5DVeNVf/KhVdpFohotWDCzFA=[/tex]为正整数, 则[tex=0.643x0.786]cnVwa8IjZzNSEmAUXJ8VCQ==[/tex]属于[tex=2.786x1.357]+XRKEQoGZeAvtWLhM8raPw==[/tex]在[tex=1.0x1.286]tfOKBWaLBHOxp4502/oePg==[/tex]上的分裂域[tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex], 于是[tex=4.429x1.357]RxtBAb0qktAnf0jCT88/v2scGvyry3jMQRuUYKE+ZS4=[/tex], 从而[tex=9.286x1.357]ZnsG/pDo/Lr2icNruICgZuOCxBlqrqWwPzeqrLCvfFnh3ie/BeXJ7mEfSAMVV8qo[/tex]. 故[tex=2.857x1.071]YVYLTD22cPmDFu/35YefoQ==[/tex].

举一反三

内容

0
证明：数域[tex=0.643x1.0]Ft8KOBgb78fnKY0jEt4Rsg==[/tex]上一个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex] 次[tex=3.214x1.357]gJkFLWVH5zNk75r8/evhfA==[/tex]多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]能被它的导数f(x)整除的充要条件是[tex=7.214x1.357]lmeBkU8/ruK6t5RxRgcerg==[/tex]，其中[tex=3.286x1.214]oeWZ4kdc5N+8h2+UwE9GFw==[/tex].
1
设[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是[tex=2.0x1.357]s5rkuaa09tHVOqNEBnxxWg==[/tex]中多项式, [tex=6.786x1.357]V1D753We7vezsBlKQyfrUoM0zttYEolR3mfZm8MXXEZ+VbeInoQLIy+dM4+yjhyT[/tex]. 求证存在[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]的某个扩域[tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex], 使得[tex=5.214x1.357]hNy1FoFsKvhHWXx40djhAs2Mgin2ho0BUV/xyRC9itU=[/tex], 并且[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]在[tex=2.143x1.357]vgQR2NrJ1BFQI+DA+7lW3A==[/tex]中分解成[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]个一次多项式之积.
2
设[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是实系数[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]次多项式，其中[tex=2.5x1.143]K+Swr2cA+8b62T1YU7nuOw==[/tex]。证明：如果[tex=3.429x1.357]5W4xTQrlz2YsNIZZqereQA==[/tex]，那么[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]无重根且有偶数对虚根；如果[tex=3.929x1.357]vxzECGGRprE9ImOPQXowww==[/tex]，那么[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]无重根且有奇数对虚根。
3
对下列每个函数求最小的整数[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]使得[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是[tex=2.786x1.357]cJMrm7cLYI34p0YqCzEUQU4kLR/9uAMOOV/KnsuctHk=[/tex]的。[tex=8.214x1.5]bHEx7KPtsRm7vZ6c2GY2apvY9k/xfaWhmZcZKzIVvv4=[/tex]
4
证明：次数＞０且首项系数为１的多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是一个不可约多项式的充分必要条件是，对任意多项式[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]必有(f(x), g(x))=1，或者对某一正整数[tex=6.0x1.357]bR39wf/Hz75eMrt08Xqk8wt4bXTUCgLbWgBjqC5Zmko=[/tex]．