设[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是[tex=2.143x1.357]dWatJMLI7pN/xzYgReR9Ug==[/tex]中[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]次首 1 不可约多项式, [tex=0.643x0.786]cnVwa8IjZzNSEmAUXJ8VCQ==[/tex]为[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]的一个根. 则[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]共有[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]个彼此不同的根: [tex=6.357x1.5]lpqmP8UZMKrLGTY89gbLJNAIHFCwROQKH42ByZYClQk=[/tex].

2022-06-19

设[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是[tex=2.143x1.357]dWatJMLI7pN/xzYgReR9Ug==[/tex]中[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]次首 1 不可约多项式, [tex=0.643x0.786]cnVwa8IjZzNSEmAUXJ8VCQ==[/tex]为[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]的一个根. 则[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]共有[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]个彼此不同的根: [tex=6.357x1.5]lpqmP8UZMKrLGTY89gbLJNAIHFCwROQKH42ByZYClQk=[/tex].

答案：

因[tex=1.0x1.286]tfOKBWaLBHOxp4502/oePg==[/tex]中元[tex=0.571x0.786]c59+3vo0/Vn/FvNRhDRu5g==[/tex]均满足[tex=2.214x1.0]IcdghvjJPX/a8N34QSnatw==[/tex], 从而对任一正整数[tex=0.429x0.929]r8lLiDb0KHTzu/2y/Au89w==[/tex]均有[tex=2.429x1.286]UsgNkWNa3TlObP93g21gww==[/tex]. 于是[tex=9.714x1.786]MIyMuu0CpTLK+qV3JoxlAmhrhmr/CLLwmjWHcw/RhRul4MHyNo376Zmc0bo2AbaE[/tex],[br][/br]即[tex=6.357x1.357]IZLa0l62/ir7ZtY786sJmnGjdn+PS4Ve+2RRbo2+yC6WNiZKQ3vPlU8A3SIWg7Jq[/tex]均是[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]的根. 而且[tex=6.357x1.5]lpqmP8UZMKrLGTY89gbLJNAIHFCwROQKH42ByZYClQk=[/tex]两两不同: 否则存在[tex=7.143x1.214]ucCHEbZYB8ePpLJV0tuHoHftJgKwIGXNPk2Av8Eam60=[/tex]使得[tex=12.643x2.143]0dSljzMvCfy6UHEfXFQko9yie1F26IHUWaxrwezb5fLLMu7ILBTRHkmjRWbZ7iBmxXnx4Og4JOJZi17qdF6LpA==[/tex], 从而[tex=4.929x1.357]SlCngRDREeRoFD8SVyN/1yCLDajnP6oQAbLkBUbmoZA=[/tex], 于是[tex=2.357x1.357]0VK3/N/fLOoUyml49ohHEw==[/tex]是[tex=1.643x1.429]sF6sxXJySAVaEIrkIi4egQ==[/tex]元域的子域. 但[tex=2.357x1.357]0VK3/N/fLOoUyml49ohHEw==[/tex]是[tex=1.0x1.214]zzT3if35g0aUdWH096AT6A==[/tex]元域. 矛盾!

举一反三

内容

0
证明：数域[tex=0.643x1.0]Ft8KOBgb78fnKY0jEt4Rsg==[/tex]上一个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex] 次[tex=3.214x1.357]gJkFLWVH5zNk75r8/evhfA==[/tex]多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]能被它的导数f(x)整除的充要条件是[tex=7.214x1.357]lmeBkU8/ruK6t5RxRgcerg==[/tex]，其中[tex=3.286x1.214]oeWZ4kdc5N+8h2+UwE9GFw==[/tex].
1
设[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是[tex=2.0x1.357]s5rkuaa09tHVOqNEBnxxWg==[/tex]中多项式, [tex=6.786x1.357]V1D753We7vezsBlKQyfrUoM0zttYEolR3mfZm8MXXEZ+VbeInoQLIy+dM4+yjhyT[/tex]. 求证存在[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]的某个扩域[tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex], 使得[tex=5.214x1.357]hNy1FoFsKvhHWXx40djhAs2Mgin2ho0BUV/xyRC9itU=[/tex], 并且[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]在[tex=2.143x1.357]vgQR2NrJ1BFQI+DA+7lW3A==[/tex]中分解成[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]个一次多项式之积.
2
多项式[tex=2.643x1.357]i+VxqnE17KYcKjLCA4F+Sg==[/tex]是[tex=2.143x1.357]dWatJMLI7pN/xzYgReR9Ug==[/tex]中所有次数整除[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]的不可约首 1 多项式的乘积. 特别地, [tex=1.0x1.286]tfOKBWaLBHOxp4502/oePg==[/tex]上任一[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]次不可约首 1 多项式均是[tex=2.643x1.357]i+VxqnE17KYcKjLCA4F+Sg==[/tex]的次数最高的不可约因子.
3
证明：次数＞０且首项系数为１的多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是一个不可约多项式的充分必要条件是，对任意多项式[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]必有(f(x), g(x))=1，或者对某一正整数[tex=6.0x1.357]bR39wf/Hz75eMrt08Xqk8wt4bXTUCgLbWgBjqC5Zmko=[/tex]．
4
设[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]为[tex=0.643x0.786]35ReWWGs/YPu3n9y5K5w7g==[/tex]次多项式[tex=3.214x1.357]kTpMd2BI8LQ4Hmb8qBngfHbPirYnb5xBfDti2joKxn0=[/tex]，又[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]为凸函数，试证[tex=0.643x0.786]35ReWWGs/YPu3n9y5K5w7g==[/tex]必为偶数.