证明 : 单调有界函数的一切不连续点皆为第一类不连续点.
证 不妨设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 为单调增函数,取其定义域 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 中的任意点 [tex=0.929x1.0]mQGdf3XTfQx0Qped0rrM9g==[/tex], 且设 [tex=0.929x1.0]mQGdf3XTfQx0Qped0rrM9g==[/tex] 不是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的左端点,由于[tex=2.857x1.071]z7gtV4PqF4DCbShVd8JxGA==[/tex] 时显然有 [tex=6.0x1.357]pMEAA+kLI8k38Pwz5TF15PDXvMAxl2BlidHtiZafR0vI2QQf089/AfJM+gUWcfkN[/tex] 由关于单调函数的极限定理知[tex=13.571x1.929]0U4TticisfA3gN/QE+Bpi75IugalAUo0XwHfB+Ch3PUsxWGVcQhLmL4vAB//yU9/hX+kYbKCBVlDUsOvo9LHbTfnAUlmBZDieFQVoLr5TdTWM+ZtDToPfE189Q/g2kX3[/tex] 可见若[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=0.929x1.0]mQGdf3XTfQx0Qped0rrM9g==[/tex]点不连续,则函数在该点只可能有突跃,即第一类不连续点.
举一反三
- (1)证明单调有界函数存在左、右极限(2)证明单调有界函数的一切不连续点都为第一类不连续点.
- 证明单调有界函数的一切不连续点均为第一类间断点。
- 证明：单调函数的不连续点之集至多是可数集。
- 证明：若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在闭区间[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex] 除 一 个(或有限个) 第一类不连续点外连续，则 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在 [tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]有界。
- 设函数[img=156x64]17e44174c95ab74.png[/img],则点[img=38x19]17e435e31787aa7.png[/img]是函数[img=35x23]17e43904a1b2c79.png[/img]的 ( ) A: 第一类不连续点 B: 第二类不连续点 C: 可去不连续点 D: 连续点
内容
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函数的极值点一定是连续的点
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【单选题】下列关于函数连续不正确的是()。 A. 函数 在点 连续 在点 有定义, 存在,且 = B. 函数 在点 连续 C. 函数 在点 连续 D. 若 ,则 一定在点 点连续
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下列说法正确的有一共有几条（ ）. ①函数在某点可导，则在该点一定连续；②函数在某点连续，则在该点一定可导；③函数在某点不可导，则在该点一定不连续；④函数在某点不连续，则在该点一定不可导。
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试证明下列命题：[tex=1.214x1.214]u/EwPhudbQnOqlmqWT4jSQ==[/tex] 上单调函数的不连续点全体为可数集.
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讨论函数的连续性(在哪些点连续,哪些点不连续).该函数在处连续;在点处不连续.