数域 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上全体非零多项式的集合对于[p=align:center][tex=10.857x1.643]Ck4j1YFlvVH5wCAykOEMiyvHbHFt4Bo+u2KoSFSPvR078AGYnVsfpF0PiKViy+HFn8la6idFrabkKok6s6kIvA==[/tex]是否满足结合律和交换律?其中 [tex=4.929x1.357]Oj/mfpf72qhxuBE24/IwLw==[/tex]表示 [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex] 与 [tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex] 的首系数是1的最高公因式.

2022-06-19

数域 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上全体非零多项式的集合对于[p=align:center][tex=10.857x1.643]Ck4j1YFlvVH5wCAykOEMiyvHbHFt4Bo+u2KoSFSPvR078AGYnVsfpF0PiKViy+HFn8la6idFrabkKok6s6kIvA==[/tex]是否满足结合律和交换律?其中 [tex=4.929x1.357]Oj/mfpf72qhxuBE24/IwLw==[/tex]表示 [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex] 与 [tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex] 的首系数是1的最高公因式.

答案：

解：由 [tex=20.5x1.357]b3fR5e4SsCc0/A06vDVC0stwqQMa8gtUrVZJ/GtNSEPR1nbprxb50wYQJe6H24QO042vCzZxyRVDGqic3Oz3iw==[/tex]，故满足交换律，又由最高公因式的性质可知[tex=18.0x4.214]v9ZrRSh6tROp6QzpJzpO9esH/prdZvb4uod7f6mO8e2vqKDA8+0Qjjv81PlpxfVOw3ICCoABWhU+hm0nBtVgutoItUAAbnM1QmwiNK8xU2sGaUOWMLL6UTWkBwXBr6olPaeV8dFcXtTOZSJMlEW5VuBcAgbjS9Xb3urS2AWte1EZZDp1vSgqGKcVp6n0wDxM[/tex]故也满足结合律.

举一反三

内容

0
求[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]与[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]的最大公因式：1)[tex=21.357x1.5]r6t5VWzJm+Xv3ozECYSctPI0x6vjNmE4SMcxJ1ZlqHdFCpB5LdMgZX+qhQIuvsmsaQU8nebQOSZ4mlML9cDHLA==[/tex]2)[tex=16.643x1.5]wJNKuY6TxKWD7D3GhUcbVogHW0gzohtkQZTW/+nhDlcbw/ip6VctFZVqHuBjB0yH[/tex];3)[tex=24.857x1.571]O8z1D4whcWvoWxEZGe/bOs3TQBQkML5Mwp+R759vbcGVlcf5hSJeNQ2kDMNHhCnBJDIrCTWm8U04vZJbiTReng9F16aXTwenLFeqC4Q644s=[/tex]
1
证明：如果 [tex=8.429x1.357]fB6ODgdjWzUaSsGmIhF/433d1tjfOTdAwCjXeYReYlI=[/tex]，且 [tex=1.929x1.357]0ZHgxEhdYTvlvk9Zu0U2zw==[/tex]为[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]与[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]的组合，那么[tex=1.929x1.357]0ZHgxEhdYTvlvk9Zu0U2zw==[/tex]是 [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]与[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]的一个最大公因式。
2
证明：设 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上的代数元, [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上的一个首一多项式, 则下列条件等价:(1) [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 在域 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上的极小多项式;(2) [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 在 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上不可约, 且 [tex=3.429x1.357]+nzvPBU74mdetNBw41Ue1A==[/tex](3) [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上以 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 为根的次数取小的非零多项式;(4) 如果 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是域 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上任意一个以 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 为根的多项式, 则 [tex=4.857x1.357]+3zmuKty1AhSMDB3tNdbXzDDg/gxGAj+UD6ur3wtHjE=[/tex]
3
求[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]与 [tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex] 的最大公因式:[tex=14.929x1.5]wJNKuY6TxKWD7D3GhUcbVogHW0gzohtkQZTW/+nhDldVK6HQXqcACUNin6iaYOBi[/tex]
4
设[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]是系数属于域[tex=1.071x1.286]Yf9vilsri8269WAMogYgOQ==[/tex]([tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]为素数）的一个多项式, 证明[p=align:center][tex=5.929x1.357]Ny0A5/F+eAq0do7xYJbhJFg93F1cOmaZyx83cJIoRCU=[/tex].