用一宽为[tex=1.0x1.0]LLSxrL1D5ZJZDXYrBg54tw==[/tex]厘米的长方形板材将它的两边向上折成一断面为等腰梯形的水槽（如图所示），怎样折法可使断面的面积最大？[img=379x213]1791755caad0fff.png[/img]

2022-06-19

用一宽为[tex=1.0x1.0]LLSxrL1D5ZJZDXYrBg54tw==[/tex]厘米的长方形板材将它的两边向上折成一断面为等腰梯形的水槽（如图所示），怎样折法可使断面的面积最大？[img=379x213]1791755caad0fff.png[/img]

答案：

设折起来的边长为[tex=1.929x0.786]XAu54SleaVJw/peCxnvdlQ==[/tex]，倾角为[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]，那么梯形断面的下底长为[tex=2.857x1.143]H6+lJkuYeA0WbDsY5t20bg==[/tex]，上底长为[tex=7.071x1.143]hOeL5dBXaKqi4gHoET1NGLNW3zwyv0tz4EfTTk1NsrE=[/tex]，高为[tex=2.786x1.0]Yc/E1ST1L/FUugs4bUGRvw==[/tex]，所以断面面积[tex=17.571x2.357]e+ha1C4DRoV3bLmAUw3ZXC1DZdwmmcYHAp6t1IyF4JiWINDz2ZqtYbfdWpYZbG2aPQEAKMhrYdDKvtx7AqfL8Wn6bWpTRlXU+RvNpsuZVLQ=[/tex]，即[tex=28.357x1.5]goLzXAL8qFLnWlA8UR6sjKSi+0KCpniCLR2vg6vxFqfdibYeHwI1qHo2dsvq45R/fmAi1kBERDTurCHt0k2DqhipEgTcRrNv8wcshF9rc9ZT2KUEBard7bQHOQ26pvngxs7w+m2peLX0rLFH6xRzxwCrDSevWs27gm2ecSfeyCg=[/tex]，可见断面面积[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是[tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]和[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]的二元函数，这就是目标函数，即求使这函数取得最大值的点[tex=2.5x1.357]6RSdqcrbTO+bwl7bbhaW6w==[/tex]，令[tex=22.214x3.357]7EJHVCtO2IWq3KpdB+jQshVTII/VDVRrqbx01R/DVSe/JcrlxXx9589/KIGoNUvXOJ+MD3vplXFcXBDwOJrTvyct5rz0tWioTGvGY6FclxJm/T9zKN3nLhoK42pr71gEzE9aYZsMpWikohJyep1pAnpyDshx4iyv50cjtFJPI62iVSjNOEXElT6nyvEaREVEOuHWTvsoS15oVM5AKkU0aY1WMyava5EGWlWUerXhxMnoPs5CYOup8+HMUx5GSz920InYBSLAn3hKmx5wuPdOLow3PQPv2giCLsbFe0BpGHcJtn8gsEMxBi6UO21im0Dk[/tex]解这方程组得[tex=2.857x1.071]z7opkeLRldjTaMX1PsKn0PsWl6v3sKVSia8z65DdEiQ=[/tex]，[tex=3.214x1.0]3kNgaMnYW9C5I8VL1z0MxQ==[/tex]。根据题意可知断面面积的最大值一定存在，并且在[tex=15.714x1.357]/BZcFoH4lR3irREhtzXP4DwEyRJNh0WMX4b61NgViP7JId+WY/zUsApVUVgvgFqoEUPZkePIkqG063hB0DyjG8shG+ItkzBTlVTd07ZTF18=[/tex]内取得，通过计算得知[tex=2.857x1.071]9Uop//HwpFFI3f7Jr+XeeVg+VJuSDPmeVc+HbtCZgVY=[/tex]时的函数值比[tex=2.857x1.071]z7opkeLRldjTaMX1PsKn0NKYP4nY39x0UQ624967pgs=[/tex]，[tex=3.214x1.0]z+T3cZTRraLn6oT9hTbxJw==[/tex]时的函数值为小。又函数在[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内只有一个驻点，因此可以断定，当[tex=3.214x1.0]4//7QZabDRJBBZA9cGWXLg==[/tex]，[tex=2.857x1.071]8b+QXU+cRVRpa3PN2+AqH7tm65CVHwtyVbQ7irpSKos=[/tex]时，就能使断面的面积最大。

举一反三

内容

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闭口薄壁杆的横截面如图 9-23所示, 均匀厚度为 [tex=0.714x1.214]3TNkQbDgManwsFmddDaIUQ==[/tex]受扭矩 [tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex]作用,试求最大剪应力及扭角.[img=235x247]17965c6e82ffba3.png[/img]
1
机构如图 a 所示，曲柄[tex=1.571x1.0]sfTyCWNEoQDFDIhZA62AjA==[/tex]上作用一矩为[tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex]的力偶，在滑项[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]上作用水平力[tex=0.643x1.214]7yjP1ux4WqBe1E0Q8HJGSw==[/tex] 求当机构平衡时，力 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 与力偶矩[tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex] 的关系.[img=443x332]17a03e8cd48485e.png[/img]
2
如图[tex=1.714x1.286]INIAQAyevRZXrxY9MHllbg==[/tex]所示为一螺栓接头。已知[tex=4.5x1.286]ZtM6umZ1WS0ZA0fDnB3eOw==[/tex]，螺栓的许用切应力[tex=5.429x1.357]T1nVyDmvNx1Ja4ilmbdYgQ==[/tex]，许用挤压应力[tex=6.357x1.357]iEcF8UOCTfYKCjj0HlH+bDsaMuV9I/utHzvpPlFC41KI7ZBDPUOTBs7RMG524g/x[/tex]，上下两板厚度为司[tex=4.357x1.214]uwX7tmkmspvvrlKhpP8/i5FaDrP/n2ekntfKCPsC7SQ=[/tex]，中板厚度为高[tex=4.357x1.214]i9OLlzXur00mozFzAGgM3nrjeTkI7E5Ekb7Sxlomwrc=[/tex]。试计算螺栓所需的直径[tex=0.571x1.286]E8TCNnEPtMKJ0mC2xxh0/Q==[/tex] .[img=408x190]17d1254a61698dc.png[/img]
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如图所示，有一很窄间隙，高为[tex=0.643x1.0]uPu/UBwxTDghY6MHYDLmcA==[/tex], 其间被一平板隔开,平板向右拖动速度为[tex=0.857x1.0]a//YNwV7EiOx+ey9OJVcMQ==[/tex]平板一边液体的动力黏性系数为 [tex=1.286x1.0]YHfHe9HaE2PFHranwB+0mQ==[/tex] 另一边液体动力黏性系数为 [tex=1.0x1.0]lxrMh7u+CzLUxhl26crQqw==[/tex], 计算平板放置的位置 [tex=0.5x1.0]ORt01UFZeKICl9Jh2bP62g==[/tex] 。要求：(1)平板两边切应力相同;（2）拖动平板的阻力最小。[img=233x151]17a12ceb0ab1e6e.png[/img]
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如图所示，有一很窄间隙,高为[tex=0.643x1.0]uPu/UBwxTDghY6MHYDLmcA==[/tex], 其间被一平板隔开，平板向右拖动速度为 [tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex],平板一边液体的动力黏性系数为 [tex=1.286x1.0]YHfHe9HaE2PFHranwB+0mQ==[/tex] 另一边液体动力黏性系数为[tex=1.0x1.0]lxrMh7u+CzLUxhl26crQqw==[/tex], 计算平板放置的位置 [tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex] 。要求:（1）平板两边切应力相同;（2）拖动平板的阻力最小。[img=319x150]179f5d6f6c0043a.png[/img]