设f（x）在（0，1]上连续，并且lim.x→0+f（x）=A，.limx→0+f（x）=B，证明：∀ξ∈[A，B]，∃xn∈（0，1），使得limn→∞f(xn)=ξ．
证明：由题意supδinf00，有inf0ξ-1n；我们构造数列{xn}如下：（1）f(yn)>ξ-1n或者f(zn)<ξ+1n，取xn=yn或zn；（2）f(yn)≤ξ-1n且f(zn)≥ξ+1n，此时f(yn)≤ξ-1n<ξ+1n≤f(zn)由连续函数的介值定理，存在xn∈（yn，zn）或者（zn，yn），使得f（xn）=ξ．于是{xn}有性质：（1）xn∈（0，1），且limn→∞xn=0；（2）limn→∞f(xn)=ξ．
举一反三
- 设f(x)在[0，1]上二阶连续可导，且f’(0)=f’(1)．证明：存在ξ∈(0，1)，使得
- 设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f"(0)=f(1)=f"(1)=0．证明：方程f"(x)=f(x)=0在(0，1)内有根．
- 设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f"(x)＜0，则____ A: f(0)＜0 B: f(1)＞0 C: f(1)＞f(0) D: f(1)＜f(0)
- 设f(x)在[a,b]上连续，且f(x)不恒等于零，证明∫(a,b)[f(x)]²dx＞0
- f(x)在[0,1]上有连续的二阶导数，f(0)=f(1)=0,任意x属于[0,1],使得f(x)不等于0，则=
内容
- 0
设ab＞0，f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，证明：存在ε∈(a，b)，使得设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内连续可导，x。∈(a，b)是f(x)的唯一驻点．若f(x。)是极小值，证明：x∈(a，x。)时，fˊ(x)＜0；x∈(x。，b)时，fˊ(x)＞0
- 1
设f（x）在[0，1]上可导，f’（x）>0，且f（x）[0，f（1）]0，则f（x）在（0，1）内（） A: 零点个数不能确定 B: 至少有两个零点 C: 没有零点 D: 有且只有一个零点
- 2
设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且f'(x)>0,则A.()f(0)<0()B.()f(1)>0()C.()f(1)>f(0)()D.()f(1)
- 3
设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f"(x)＜0，则下列结论成立的是______． A: f(0)＜0 B: f(1)＞0 C: f(1)＞f(0) D: f(1)＜f(0)
- 4
设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，f'(x)＞0且f(0)＜0，f(1)＞0，则f(x)在(0，1)内( )． A: 至少有两个零点； B: 有且仅有一个零点； C: 没有零点； D: 零点个数不能确定．