微分方程 [tex=6.857x1.429]GotZYePp+dIQNF0Yxu6LvslT6vBnvnMlNVAsPhBeB8lfCr+xz0DdEpt0ezxzfwDq[/tex] 证明 : 与其积分曲线关于坐标原点 [tex=2.071x1.357]/B4OpizC+GWNmgu3h9VMGQ==[/tex] 成中心对称的曲线,也是此微分方程的积分曲线.

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2022-06-19

微分方程 [tex=6.857x1.429]GotZYePp+dIQNF0Yxu6LvslT6vBnvnMlNVAsPhBeB8lfCr+xz0DdEpt0ezxzfwDq[/tex] 证明 : 与其积分曲线关于坐标原点 [tex=2.071x1.357]/B4OpizC+GWNmgu3h9VMGQ==[/tex] 成中心对称的曲线,也是此微分方程的积分曲线.

答案：

解: 设微分方程的积分曲线为 [tex=3.143x1.357]SvkmdiaSCBne2lfTn9xiFw==[/tex], 即有 [tex=10.857x1.5]vBzypjXTANyMOMnvxkPTLUFdMXI43+rb5l8dbpxp1fZIOVdF2PYVGPRKrFDFTcBhbpHHcOC0PGgWhtWpd6LOKQ==[/tex] 又设与积分曲线 [tex=3.143x1.357]SvkmdiaSCBne2lfTn9xiFw==[/tex] 成中心对称的曲线为 [tex=3.429x1.357]gOVLOKJ60dZ5A49pnLMN/Q==[/tex] 则 有 [tex=6.286x1.357]x2EwmbzDUNo14DfUjs8DVg==[/tex] [tex=5.857x1.429]z+f7jRoHVjokVAWuV/ls6WEEe2UTJMZq91si+uKdz8M=[/tex].对方程 [tex=11.357x1.5]vBzypjXTANyMOMnvxkPTLTTDk4EO0lMFYg+ENjWcFcNayw5JWhSn9KhafnHbgfH9/QdVwdDcEXUEGB72cu7UUQ==[/tex] 用 [tex=1.357x1.071]8t10dwO6yxbjigeAQUfnTw==[/tex] 代替 [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 得 [tex=16.0x1.5]z4xzI0zNBslUFenQvuH+IMKIoYd1ma6qWrWhFYPN/su+Pg1KxG+6zbUMPcolxVTTIXlgjtp5pHmO+i1XAsbc5A==[/tex] 即 [tex=17.071x1.571]PWVGHdYsc922yutXAvU7KlFOebUqKQbRRx6Zm6nUenDoZHbMMnsmdJWOgCyiMCRjG0gsEG++pywsQl9VfXcBeK79k1CtgOgjiuN6fai202M=[/tex] 于是 [tex=11.357x1.5]tVCl3ZUaxex7gn/DLwPJ077IXzBsvXZDBRimSZ2xtgws2Vy9pFSrWZ1lwHCujBbwxu0ehKPe0wr0sum+nCa6KA==[/tex] 这就证明了 [tex=3.143x1.357]8q+QHnuxDxPxrz9o0HRV5g==[/tex] 也是微分方程的积分曲线.

举一反三

内容

0
求微分积分方程[tex=11.143x2.857]wLaylZF3S7c2OdMRApfJ0GNJp/Yvx3tqU0Nd9TUmtohCIFkA2qBUrZFWUnUSC9O78Mzdj//x/fSpWPDS3ABUzQ==[/tex] 的解[br][/br][tex=1.714x1.357]RiG8EZN5ZhRw4jDO6I5Cvg==[/tex], 其中[tex=4.143x1.571]S6T8nD5eCJ/mB2hv2g0/MA==[/tex]
1
利用曲线积分，求微分表达式[tex=17.071x1.286]z7vVtwdhVF7/Z3Ds1mETViTFCQKQGx4aFHMEdqBC2MWgLdPZeJeWudHKuH6sm6BymvEkghy7yAMFsMJVlVw/0fg7N4FSX1L94Wh6TVHJsno=[/tex]的原函数。
2
求微分方程 [tex=4.429x1.429]qPiv6DZ0SI6ZkPEkTJrp+LeFEwGJ/rh7Pxzh19kv4UI=[/tex] 的积分曲线，使该积分曲线过点[tex=3.286x2.786]+nj2W5DK7DqcmyEOiE8FyYr2PKLAw2y/cZlJjXVdHs8=[/tex], 且在该点的切线斜率为2
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设 [tex=0.643x1.0]u7XUci3hWIE/S+TBToDPxA==[/tex] 为曲线 [tex=1.714x0.929]dmmq/LJrVvLQrEXrMvE/Kg==[/tex] 、 [tex=2.071x1.429]1LxPo6XhkXDu6MtF5YySrg==[/tex]、[tex=2.0x1.214]jRol6XasavgMNhfs3xbhmQ==[/tex] 上相应于 [tex=0.429x0.929]gQzDwVIykgengUJAyMAHkQ==[/tex] 从 0 变到 1 的曲线弧。把坐标的曲线积分 [tex=8.286x2.643]zWxCe5lM7DcyKeGyzVTDZnEDNsXJVan4usf3C1SjkSxrkXpRFYPHhduByDcTgxtU[/tex] 化成对弧长的曲线积分.
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设[tex=0.643x1.0]u7XUci3hWIE/S+TBToDPxA==[/tex]为曲线[tex=1.714x0.929]dmmq/LJrVvLQrEXrMvE/Kg==[/tex]，[tex=2.071x1.429]1LxPo6XhkXDu6MtF5YySrg==[/tex]，[tex=2.0x1.214]jRol6XasavgMNhfs3xbhmQ==[/tex]上相应于[tex=0.429x0.929]gQzDwVIykgengUJAyMAHkQ==[/tex]从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分[tex=8.286x2.643]zWxCe5lM7DcyKeGyzVTDZqQevQMWvcGOokk65MmR/wOSdAA775RMDaarTBwb6IiW[/tex]，化为对弧长的曲线积分.