设 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 为可分 [tex=3.214x1.0]BJ0NiZYuvBIGjRY73gw/8w==[/tex] 空间, 证明 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 中任何规范正交系至多可数集.

2022-06-19

设 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 为可分 [tex=3.214x1.0]BJ0NiZYuvBIGjRY73gw/8w==[/tex] 空间, 证明 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 中任何规范正交系至多可数集.

答案：

【[b]证明[/b]】 因为[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 为可分的,故可设 [tex=3.571x1.286]a470owBOq4uAx0xleUuX8rwfmsB3KXhfplfD36dfHej/3Buqsorrw3X3Sp3+rrb+[/tex] 为 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 中的可数稠密子集. 设 [tex=4.714x1.357]WVC3POWOtt4g2zLOO50EqXlu1cJUHv4IlcEiZWjrV87xxPjmCI6yytVO3mn4UlWrXKNoE5WjpYOLGu2oMO0Bkw==[/tex] 为[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 中任一规范正交系,则对任意[tex=2.286x1.214]MLM2vrf/r5fPktS8JxDpMXPBrhC7AerfbZbSvFtPvLg=[/tex] 必存在 [tex=1.286x1.0]SXWOW7+g10Aas6vgs+hbnA==[/tex] 使得 [tex=6.643x2.643]64nBWjHJdkuFOxO10lzLeaR4/lZQ/33RXQIc8mxGodKGcQyKGmrMMH9vs73RD5mN+PHJhKQ2jYW9XZIG6uJ33w==[/tex]成立.若 [tex=0.714x1.0]AiT6fhT2pvop+UvpD2oClg==[/tex] 不是可数的,则必有某个[tex=1.214x1.0]LoIWpdoXabytMGIWQsqm9g==[/tex] 及[tex=5.857x1.357]jwpjxDDssW4LrVvYJL6rfZus93eeLWfEqcTjV8Z5BMrtFt21HCbPq9nyqFN+7Qpsk/b1Zy6QJHVQMzS+ZSPbZw==[/tex],使得[tex=6.571x2.643]DDKI71bedzhJv41U93Sk6CwEuCoQfP6ZHZ1KqywKz8KhdBzA6kXUSUiQux3PBPH9+PNT5w6Xiuh42MVuF+zsPw==[/tex] 成立, [tex=6.429x2.643]DDKI71bedzhJv41U93Sk6KWo6xlt0XxbL6/7gh4BPfhaGmfq6fQ9JsqbFLotPtIkAxaisAGeOZhwXab4N3giBQ==[/tex] 也成立,于是 [tex=21.143x2.643]hWyf2dxJahuwhwTbN0hfZFS+UkvTLMMCxdLFBxf2SmW1XJiHOf88OrrhCWBp4kcYGpPw3u/HI9rVCXUitcvLyf06LDFgfyqFkEsMjD1b9DY7qEI1fwKro15VHK28fGCHsIqtd2pzLMUNansXrBWCUlQDoYmr2nkTOWERuY1l5y/8katz9vRYwJE+IR5fsiuYk7vMnOT44KWcIV3OQsvcFBtnK6nNu+iMYvVsuA5lAKQktmrF38iQc01v+5rMFNwh[/tex] 但由勾股公式,有 [tex=11.786x1.571]hWyf2dxJahuwhwTbN0hfZFS+UkvTLMMCxdLFBxf2SmW1XJiHOf88OrrhCWBp4kcYAe8LqAL6Ea1Fh9BHjm6xi7k/RgHpQGaU9XwwY7B2ox+7F0P+XZZsMOHIuTdA+jl6GvciUBR8HsGNS37s3ukSKkxt4MSVohVQoh+aVq+fMfV3lTF0l1oLQDOIC7srJW2g[/tex],即 [tex=6.0x1.571]hWyf2dxJahuwhwTbN0hfZFS+UkvTLMMCxdLFBxf2SmW1XJiHOf88OrrhCWBp4kcY1WO0ek2YPGnIS2eI6DLoRw==[/tex] 这与 [tex=6.071x1.571]hWyf2dxJahuwhwTbN0hfZFS+UkvTLMMCxdLFBxf2SmW1XJiHOf88OrrhCWBp4kcY84hPD2EgC1pxKH4zVBA2HA==[/tex] 矛盾,故假设不成立,因此 [tex=0.714x1.0]AiT6fhT2pvop+UvpD2oClg==[/tex] 定是可数的.

举一反三

内容

0
设随机变量 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 的概率密度为 : [tex=10.357x2.5]D7bc2+eUwrrbwGCdv8wBHqSGNi2eUimJPhHvHDm2CRQIB0JsD/yM1xJWLrcsKlMCcd5OnLoQn8mUkkof5ma5/A==[/tex]，求 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 的期望值与方差。
1
设随机变量[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的密度函数为[tex=8.5x2.143]Ca+H1VjqhIFFe3JC2XAU2rOuJUFZivOezxxgZEpNix4wWRHa7Q2XYP2aHPPIgOy/[/tex],试求[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的特征函数.
2
已知随机变量 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 的概率密度为[tex=13.0x2.357]nHHN4pLpj1G1uhQpyLUatreMse16BhxCX+nm8cZ5nxW1R+KIjomlLFfyrFplv9mykQ0cFIpaQRbRTlU90WEwNA==[/tex]求 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 的分布函数.
3
设[tex=2.286x1.357]jro22R1VbAobj1HjELMO/w==[/tex]为非空集合[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的幂集（即[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的所有子集构成的集合），试求[tex=2.286x1.357]jro22R1VbAobj1HjELMO/w==[/tex]的阶。
4
设连续型随机变量 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 的概率密度为[tex=12.857x2.429]U8EmrNdvLYP7VnO9GCL0WKC9lw90KXXShABMLxBUPz+883V6ZlmOKYenQdRp5qeYe2K4EeF5ruQqhPOElrvMWA==[/tex],求 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 的数学期望与方差.