证明：与所有[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级矩阵可交换的矩阵一定是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级数量矩阵.
证明：设矩阵[tex=3.571x1.357]aVLZXZOyFvu0YW8S/Fna3xaGJnoK5u4oKwxFaralEcU=[/tex]与所有[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级矩阵可交换，则[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]必为[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级矩阵。特别地，[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]与[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级基本矩阵[tex=7.429x1.357]Ps2AT8NtXhJ0KYeYG5MyLazd1RaaQJfDR1O6OHEO928=[/tex]可交换，即[tex=5.071x1.286]zL18fHJRzPF3j8cTReQmNA1Y2Z2KtmonAJzGw8WazIM=[/tex].由此得出：[tex=31.143x5.214]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[/tex]，于是[tex=20.071x1.286]+Y0kcpVE9y5hICZLfg6TOoA+wy0vOIDlLeCmhQdup8I3nHC/cM9LAZKFoNhdWE2e274FBHRhBH7/hJWa+caFgdsKpB5fPfozRF4b/YfgNeBNLa8trw4LUP1J3lpjwWxp[/tex].由于[tex=0.429x1.214]adIpAOtu2Zm0WIyZC7drnQ==[/tex]可取[tex=4.5x1.214]/DIFL7ciLMx+nwGOAV82kA==[/tex]，因此[tex=17.143x4.786]sSXBpxJWudVpH1R35o4LnHClX0iXv74bCfpsxZkmMojcy2XFyB+8qYKAKDDGZeZi96HqOAGVLLC87u6gassqilC9GHluf951m/ToTtBt5uHy8y1fdg4Sig7OpeNcrUmu+mTL+NC6Mvs2E7bCtap9Myt3JzXJB7t8oTnISxQAOET1PVsSJ0WeyiXk3QY7L8dqZ7HO+ynpr8OP96q6dYgFU18n/TM/mK5Ha6+tnvkoPOTlKOIAw9Xa8jfGv/e1s8cKfo/vycAhwNndXXmccBPJdA==[/tex]。即[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是数量矩阵.
举一反三
- 证明：数域[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]上与所有[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级可逆矩阵可交换的矩阵一定是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级数量矩阵.
- 证明：数域[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]上与所有行列式为1的[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级矩阵可交换的矩阵一定是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级数量矩阵.
- 设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级实对称矩阵(Hermite 矩阵)，证明：存在[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级实对称矩阵(Hermite 矩阵)[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]，使得[tex=2.786x1.214]Y85dKqgwVuG4ThFN4REjCg==[/tex]。
- 证明：如果[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级正定矩阵，[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级实对称矩阵，则存在一个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级实可逆矩阵[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex]，使得[tex=2.5x1.143]/m30iNU/otWBkTYP2S1GqQ==[/tex]与[tex=2.5x1.143]QLBQCRpLt7DO7ViQLYKywA==[/tex]都是对角矩阵。
- 证明：如果[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级正定矩阵，[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级半正定矩阵，则[tex=2.786x1.143]7OI9Dpqsob5Abz33m0rKpw==[/tex]是正定矩阵.
内容
- 0
证明：如果[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级正定矩阵，[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级半正定矩阵，那么[tex=2.286x1.143]7OI9Dpqsob5Abz33m0rKpw==[/tex]是正定矩阵。
- 1
证明：任一[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级复矩阵一定相似于一个上三角矩阵。
- 2
证明：两个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级循环矩阵的乘积仍是循环矩阵.
- 3
[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]阶矩阵的伴随矩阵的秩只能是0,1或[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex] .
- 4
证明：如果[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级矩阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的相似类里只有一个元素，那么[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]一定是数量矩阵.