设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级实对称矩阵(Hermite 矩阵)，证明：存在[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级实对称矩阵(Hermite 矩阵)[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]，使得[tex=2.786x1.214]Y85dKqgwVuG4ThFN4REjCg==[/tex]。

2022-10-25

设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级实对称矩阵(Hermite 矩阵)，证明：存在[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级实对称矩阵(Hermite 矩阵)[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]，使得[tex=2.786x1.214]Y85dKqgwVuG4ThFN4REjCg==[/tex]。

答案：

解：设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]级实对称矩阵，则存在[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]级正交矩阵[tex=0.643x1.0]afbCO06D6MIVfU4qGM0WVg==[/tex]，使得[tex=12.429x1.5]Kjql1QCT3tB/36hx0Ov/Lbae/LpgHY6oW9m69h+KAJJmOpwhyhY9bM1GMCD/4ahOdJPAF+yDk+WKeWDzJ1IZ/0Cj82EV30Dl/uBvEmTe54w6mCZAwBSLfo4E6lyxREY7O2NqCfX1QH8oZNlZga18Fg==[/tex]，令[tex=15.929x2.214]1/+OK5LZRN5VIqxfyoUEvRSdC5hXT0rKTLaGrD5sUSjh2FTyr4rih7rAhZ6nq+7vtTvDsTQZ39SChxO7cZ85JV2nrnkpzrucdPn3egsbuiP8tdahAZbiJRUDeASn+0EtJ4jOea3STAsE458umyfZ2stHUJnr0VSO79VQ4zaag0Q=[/tex]，则[tex=14.429x1.5]XAktqJZdKAlnP3P/HHvM8KejFzsxsWDPv79OB70HzuYnvH3QXuLoDBxoCdmglARaw1b1FsrKvCXwwm7UkVciCTN0TLf7JNVjKVG7wSrcoesesakVAFLdfi2RVNdvodAY62T6nMThWNb5l/doVHH9KQ==[/tex]，且[tex=19.857x2.214]5G7KV0yFgpCiTQiUCDICSoZrOni6dkLL7vzqUyQPpi57Gr5EzG3DBQ1cYvK8fOsL9mAwsB02vU34RtgiBMKCB8ZkTGBDBrKDcwp45iak+u9xUGfWFKDIg8oCwABOcltN4/2XKH4gXdeD3T9aUZe008URw4EA9ku7i0hli8vA4S6XtkIMZuF1C3eaO2DhLEG65MhMMV1YKl7wQbliXJQlk2sVec1dhW7Y5sncEudSWSw=[/tex]，因此[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]是实对称矩阵。设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]级Hermite矩阵，则存在[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]级酋矩阵[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]，使得[tex=3.143x1.214]W4jiGACeVytyGqwMmeXGeQ==[/tex]为实对角矩阵：[tex=8.357x1.357]NovbxKl63Ey/milqTcbe/w3Wb410Kq8txeRdS+rXL41zpEaHjQWk7sKmqPsfMsoITQphuJNxzsLfIH6ogbk/280gkSykSSzDSUefcrnj3OSSiY7DGbFSb+Y/ShcCNxUH[/tex]$。 令[tex=16.071x2.214]vhuQ6D0U0i17QLNDwgap0oJh3bmr4WquyOxhbJxzLg9MF2kXtUrHsxHBsbDKOc/eS8evJuRcmoeWJhgMKgy8/K2leek93cEeQlV19xIYmQfqmjUOcNZF+eex3gOjW7+KijvMM2NP6n3vHivMZYj5LGIga0EHlpjdvalyDvCEgx0=[/tex]，则同理可得，[tex=2.786x1.214]Y85dKqgwVuG4ThFN4REjCg==[/tex]。且[tex=19.929x2.214]KWcIl6eMLkm8s9NErhn2OR889VakHA62z8mh7/AfQzGpKd8ue0744Fa2g+hf2e5dqjqvzxCZUqSK4gfC7eaR4SqWh7rzS6bRKoGtROAJocWrDuwaMyALoQt85gdL7vPRYht3EsEKCU2m5zKdQ3NE2yRKwUhpf2m3m2h78puKtpeWhBHKEQFs2zG+0/MaBzd8njLuCCx+OMFPagjH7xptzw==[/tex]，因此[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]级Hermite矩阵。

举一反三

内容

0
设 [tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex] 级实对称矩阵. 证明 : 存在实对称矩阵 [tex=0.929x1.0]ep004cu6Ev4qhlMpamsNGg==[/tex]使得 [tex=2.929x1.214]qLfCK1ZvSHsu4VEM0GGu98UJear4tHjmNm3vBZGGTAheeWeDVf2rrdw/E7PJySLb[/tex]的充分必要条件是, [tex=0.929x1.0]FV0k2T/xaj6dPCbFnkB3/g==[/tex] 为半正定矩阵.
1
是 [tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级实对称矩阵，且 [tex=2.714x1.214]Ii7rpTBIBY9OnoDCpl0kqg==[/tex]，证明：存在正交矩阵 T 使得[tex=10.357x2.786]W1aC/woYAnIXIV+eXPGimA6TYiruE6ZoYhJGhES05OpSUkMtsC9Kq91NSXW/6tntFXg0uzz+QJeeGHSEP4mS6YVNngg9zt11ACboxEGASuWHwae3dHAwNu5D9+BW/zUg[/tex]
2
证明：与所有[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级矩阵可交换的矩阵一定是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级数量矩阵.
3
设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级实对称矩阵，且[tex=2.714x1.214]/zc0a9MPQ4oEGKimH+/RAw==[/tex]，证明：存在正交矩阵[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]，使得[tex=10.857x2.786]A0kKdxo07FUl2M/TGVEn/bKOd9Y/uvadsj+X8kV2IBQ35aVTT+ZfSZkz4wgMgapNu0qL5hi5afO6PfMrpwAZWrcYUJOQVsKs9CUreLKLuN8=[/tex]
4
证明：如果[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级正定矩阵，[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级半正定矩阵，则[tex=2.786x1.143]7OI9Dpqsob5Abz33m0rKpw==[/tex]是正定矩阵.