设a1,a2,a3线性无关,证明a1-a2,a2+a3,a3-a1也线性无关
假定a1-a2,a2+a3,a3-a1线性相关,则存在不全为零的系数k1,k2,k3,满足k1(a1-a2)+k2(a2+a3)+k3(a3-a1)=0（1）化简后有(k1-k3)a1+(k2-k1)a2+(k3+k2)a3=0（2）考虑到a1,a2,a3线性无关,则当且仅当k1-k3=k2-k1=k3+k2=0时,（2）式才成立由此可得：k1=k3=k2=0这与假设矛盾,a1-a2,a2+a3,a3-a1线性相关假设不成立,即a1-a2,a2+a3,a3-a1是线性无关的.
举一反三
- 设向量组a1，a2，a3的r(a1，a2，a3)=3，a4能由a1，a2，a3线性表示，a5不能由a1，a2，a3线性表示，则r(a1-a2，a2，a3-a1，a5-a4)= 。 A: 1 B: 2 C: 3 D: 4
- 设向量组a1，a2，a3线性无关，则下列向量组中线性无关的是（） A: a1，a2，a1+a3 B: a1-a2，a2-a3，a3-a1 C: a1，a2，2a1-3a2 D: a2，2a3，2a2+a3
- 设α1，α2，α3线性无关，β1可由α1，α2，α3线性表示，β2不可由α1，α2，α3线性表示，对任意的常数k有______． A: α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关 B: α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关 C: α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关 D: α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关
- 设向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组( )． A: α1+α2，α2+α3，α3+α1，α4+α1线性无关 B: α1—α2，α2—α3，α3+α4，α4—α1线性无关 C: α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4—α1线性无关 D: α1+α2，α2+α3，α3—α4，α4—α1线性无关
- 设向量α1，α2，α2线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对任意常数k，必有______． A: α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关 B: α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关 C: α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关 D: α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关
内容
- 0
设向量组α1，α2，α3，β1线性相关，向量组α1，α2，α3，β2线性无关，则对于任意常数k，必有______． A: α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关 B: α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关 C: α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关 D: α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关
- 1
已知向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组（）。 A: α+α，α+α，α-α线性无关 B: α-α，α-α，α-2α+α线性无关 C: α+2α，2α+3α，3α+α线性无关 D: α+α+α，α-2α+α，2α-α+2α线性无关
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设 b , a 1 , a 2 线性相关 , b , a 2 , a 3 线性无关 , 则 a 1 , a 2 , a 3 线性相关
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设向量组{α1，α2，α3}线性无关，向量组{β1，β2，β3}可由向量组{α1，α2，α3}线性表出，且β1=α1+4α2+α3，β2=2α1+α2-α3，β3=α1-3α3，则向量组{β1，β2，β3}线性______．
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设β，α1，α2线性相关，β，α2，α3线性无关，则（ ）