验证：2 阶矩阵的全体 [tex=1.0x1.214]hw4MAoLH+ywUs37rYsY+9g==[/tex] .对于矩阵的加法和数乘运算构成线性空间，并写出各个空间的一个基.
[b]解[/b] 显然 [tex=1.0x1.214]hw4MAoLH+ywUs37rYsY+9g==[/tex] 对于矩阵的加法和数乘是封闭的，并且满足线性运算的八条规律，由定义， [tex=1.0x1.214]hw4MAoLH+ywUs37rYsY+9g==[/tex] 对于矩阵的加法和数乘构成线性空间. 在 [tex=1.0x1.214]hw4MAoLH+ywUs37rYsY+9g==[/tex] 中取向量组[tex=30.0x2.786]0lCZdFx1a60tCF21UHrY1iQGlXEiGRy50fHSkkbqwi87PY4elyXe50h5r/fPUrTnBWnft6AOzDei1Y61F17AEYg1hrbdZuJ/0yF1x53u2zYm42GATJqkVwB5VbaigL67xZh2K41WW29PDuS5vh/cQB0/FfLiR+Prr8n8z0DzhYS2XBLdYYJZb1RAqDDs+BWOMAHCxpEUCv1bxDYxDMDkzkQ3csysUn+ZNgryVhjeB/YK8PEsm2iFa2UEhTDGAnAQMw8lUiDisn2NL9/ZycsdQX+bsfEASDQp3km79ECyc0AvUW01qCj7hieoaYHVtIOTnj+32xBAWeDNJv+3dfIsWtaYhYL+J3i34wkv8qqWVIo=[/tex].那么向量组 [tex=0.929x1.0]GstcRC99MZaYYF7lLQUykQ==[/tex] 线性无关. 事实上，若有[p=align:center][tex=20.714x5.143]RxmRSwOcITFTHH9PzA4MCWFU66megOEGRE0wbizn8je8rLJR75flhxPN8SH5JTOX0Y/tcCFYj725LTzXYZ3SckJ6w3OtNXe00GdqQZRfTrpqWvMQloreoRFw4DeHuOajy5XueQvX2FBJe+4CKPbSXy/piirXd6VBcFS4Nl3x+yStW++rb41cxtb3tqby6q83XGZULKlJrbmwLp38twW5Dw3ZCGo5VKoREqEQLHUJ9WjkdbmBx0/+yS5hf43vlueJl0rqX+xAK92/yXg7B4fuc/56LWAYMGWOFH3ez5Dh1WOmztJGob8uP0VHACewv91EiadPDdUcttojBqeKoCbakQ==[/tex]另一方面，对于任意 [tex=9.143x2.357]QN0fTQbn6M33pU3gx/S2svv7Outm8UgfusM8dRKP5pMXKoYHsOJ9P7DnFJd3uBn9byZ7HuRq4Ru8QPn2zfeDCfHd/9WLJryN0EypwBzX72aIcTj7EZJ5H3kft1+1cpvI[/tex]，[p=align:center][tex=14.571x1.214]vFSgonK22x3eaoDbTmApvas/G0WmK+jURseDQbytUzgNx2GcPX+eHFoGYAPbXfBZe3qZOjMpfFWL1e5newXrmg==[/tex]，即 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 可由 [tex=0.929x1.0]GstcRC99MZaYYF7lLQUykQ==[/tex] 线性表示. 综上，向量组 [tex=0.929x1.0]GstcRC99MZaYYF7lLQUykQ==[/tex] 是 [tex=1.0x1.214]hw4MAoLH+ywUs37rYsY+9g==[/tex] 的一个基（从而 [tex=1.0x1.214]hw4MAoLH+ywUs37rYsY+9g==[/tex] 的维数为 4 ）.
举一反三
- 验证：2阶对称矩阵的全体[tex=1.0x1.214]Gy9oLBkwt72hdARduWtJ1A==[/tex];对于矩阵的加法和数乘运算构成线性空间,并写出各个空间的一个基.
- 验证：2 阶对称矩阵的全体 [tex=1.0x1.214]vIC1ui1s5j6wm/e+z3rn5A==[/tex]，对于矩阵的加法和数乘运算构成线性空间，并写出各个空间的一个基.
- 验证：主对角线上的元素之和等于 0 的 2 阶矩阵的全体 [tex=1.0x1.214]mCBJKK67lwY/CXys3aGQJQ==[/tex] .对于矩阵的加法和数乘运算构成线性空间，并写出各个空间的一个基.
- 验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间, 并写出各个空间的一个基.2 阶矩阵的全体[tex=1.0x1.286]fec03kdiDHJZ/H9HfxE26g==[/tex].
- 验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间, 并写出各个空间的一个基.2 阶对称矩阵的全体[tex=1.0x1.286]rNb9+2Bzv4yBnLhaOn6GJA==[/tex].
内容
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验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间, 并写出各个空间的一个基.主对角线上的元素之和等于0 的2 阶矩阵的全体[tex=1.0x1.286]nVg/OboUIedGXkD92K/F+Q==[/tex].
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判别以下集合对于所指的运算是否构成实数域上的线性空间？[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶实对称矩阵的全体，对于矩阵的加法和数乘运算。
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设[tex=15.5x3.643]QrV1AK218hDkINe/945zWinxbnT6epOvbIbPZS81kSJdLY8GeIg40DrcdyJn/ht42Po1ZBdSgtbdXWgADQQgTqXnizCj/QAoaYMqXk8Oq6aj4jgxgnjOTWylIZ6LrP2PpJhvaTSr8HzW+q0Q24FGkPpps9HPBADQ8C83R20/zAg=[/tex]证明: [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]对于矩阵加法和数乘构成一个线性空间。
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检验下列集合对于所给的线性运算不构成实数域上的线性空间。[tex=0.643x1.0]eeHRd3/2uNEqzsQcOJ+fbQ==[/tex]是[tex=2.214x1.143]yZOI8/DtJYUeBxBr+Gm6fg==[/tex]中全体可逆矩阵组成的集合，按照矩阵的加法和数乘。
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验证与向量[tex=2.857x1.357]VMNSQLG7qMkf5WYgybKUEw==[/tex]不平行的全体三维数组向量，对于数组向量的加法和数乘运算不构成线性空间。