举一反三
- 设 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上任意一个线性空间 (可以是无限维的), [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 上的一个线性变换. 证 明: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的属于不同特征值的特征向量是线性无关的.
- 设 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 和 [tex=1.071x1.143]SEwIem1RXUAaU4aCzKG5tQ==[/tex] 都是域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上有限维线性空间, [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 到 [tex=1.071x1.143]SEwIem1RXUAaU4aCzKG5tQ==[/tex] 的一个线性映射. 证明: 存在 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 的由个基和 [tex=1.071x1.143]SEwIem1RXUAaU4aCzKG5tQ==[/tex] 的一个基, 使得 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 在这一对基下的矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 形如 [tex=5.214x2.786]jcCMHflCR8OS9TosV6N5vOGsz4lMsaik2WCvgDGOBAqVscNdEHQ2gVv3HlIwyzLR+CcPnB5qDwlqwJNgLQJPHg==[/tex]
- 设 [tex=5.357x1.0]7pNelk4HUVBg38zOC/iSU7vMHJrVLgwqvpr1rK1NbFKaEiEule+x7zsTPLTAhCyvaZvwEOnFcKaPMr3tKaDZBA==[/tex] 是数域 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 上 4 维线性空间 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 的一个基, 已知线性变换 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 在这个基下的矩阵为 [tex=11.786x4.786]3BT1BgBZQ5uJXxD5dg+w28iNqyiYcXb2fG8a8WZ35EQlvSOuY8Z6ZE3ImRErqL6ajXtSDwpHa7Y5fLSiL2yzw20ZwXA8WsYrrWDNW6aJiVEky5JUgCcrSJcKuQ2Pa4tGY59WlvaE4RLNoUZ3+ZpUPd0SzVq2xjinGIJGWqOpuTw=[/tex] 在 [tex=2.143x1.0]Hxr+WAd0pdX8wRxoSXYGR4QAnDyuqv4xTysdYL2/0eA=[/tex] 中选一个基, 把它扩充成 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 的一个基, 并且求 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 在这个基下的矩阵.
- 设 [tex=5.357x1.0]7pNelk4HUVBg38zOC/iSU7vMHJrVLgwqvpr1rK1NbFKaEiEule+x7zsTPLTAhCyvaZvwEOnFcKaPMr3tKaDZBA==[/tex] 是数域 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 上 4 维线性空间 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 的一个基, [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 上的线性变换 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 在这个基下的矩阵为 [tex=9.5x4.5]r+tiAx6ClSaeP7cZbqpjmfK7O8r/htd1QXcUP+123Y3A6ectjTrAKD+R6YhjQBAKJ/y/MG0HupMmkFv14OfaK+wFCeIkssszMaxkxbDFg7WtoVrOKql6pmFkMzpTZ2jrsFrIUYHHTrFKkFbPUXaV/JTbMMpdsZX0G3vVda9cn48=[/tex]求 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 的一个基, 使得 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 在这个基下的矩阵为对角矩阵, 并且写出这个对角矩阵.
- 设 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是 [tex=2.929x1.357]eNe4MLnVkbXNSGDW9QMzng==[/tex] 中所有 [tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex] 次齐次多项式组成的集合, 它对于多项式的加法, 以及数与 多项式的乘法成为数域 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 上的一个线性空间. 给定数域 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 上的一个 2 级矩阵 [tex=4.0x1.357]n9szCAW9NR93NzdWHX2+SIQ0GT4Z8F6rBFH2My+/Q0k=[/tex] 定义 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 到自身的一个映射 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 如下: [tex=17.214x1.571]OOrxAXSMYCYUc5u06APP1HKDby6i7DnfukgrWzxCU1A3gxziBGBdJDm8pslpS7CN7j1FvLYcmwQLX8b0QTEYVVwC0AZhgDmdhawaXEX7EktcQufvMgLLcMrobRFV/OSI[/tex] 判断 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是不是 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 上的一个线性变换.
内容
- 0
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是复数域上 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维线性空间 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 上的线性变换. 证明: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 可对角化的充分必要条件是, [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的每一个特征值的几何重数等于它的代数重数.
- 1
设 [tex=3.143x1.214]TGEECqmBKmzi6fwUq56UZg==[/tex] 都是域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上的线性空间, 并且 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是有限维的. 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 到 [tex=0.714x1.0]X6uqj1A7AQmRFBpFsTbZTg==[/tex] 的一个线性映射, [tex=0.929x1.0]GTnOCR9hNPsOuxGSyBGTAE4D+bwdNZdKWKqAkIkho7A=[/tex] 是 [tex=0.714x1.0]X6uqj1A7AQmRFBpFsTbZTg==[/tex] 到 [tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex] 的一个线性映射. 证明：[tex=20.214x1.357]FS7OZA/QB7C+VSLfh3qSHml3J36eT1fzanRn2SPZBMlHDoWfXsVTxEupwatQ872w+Ry/E91iqo1QY70oD5KrHZyAY7bKxHTCEAxrEKkuuwY9EXVhpfvislmuWyvh/1DwDmCNGltUOf+1rsBXVUVDsfQHUY808wP0MujXrZPcRDAqB/B6oy8bKuIeYNa1pjcyidih+u0c8/G1wWH/PlqGyepKB/xPHAVMzoXlLfDbh53N6KijN8t4FbNLPDXKXBai[/tex]
- 2
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维线性空间 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 上的一个线性变换. 证明: 在 [tex=1.786x1.357]2pFrMmryE2cRTmNCb4YNBA==[/tex] 中存在一个次数 [tex=2.071x1.357]7chhhwfJwqwEvXCvQhaPf/NbmqM5/uxZjnHdLFf2I/U=[/tex] 的非零多项式 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 使得 [tex=3.714x1.357]619NWWixKPCSw5gBvKf3BFy7dL1orFzl95yMux+ODsw=[/tex]
- 3
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维线性空间 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 上的一个线性变换. 证明: 如果 [tex=7.714x1.357]Hy12kln5BWS6e/nYifqIO/MSAAIvZDzHo2Dmkm4Xohh+VhyIGmOJYdo4O4dthkqDWTDR08DSVglZkbGWYr+Lgg==[/tex] 则 [tex=3.857x1.357]fkYeizFVWvHVWBazq51W8CdeU38AOw9+uWsvQC06yI0=[/tex] 这里 [tex=1.929x1.357]aMCa7j968L/hYU5HJBvp5g==[/tex] 是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 与 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 的一个最大公因式.
- 4
设 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上一个线性空间. 证明: 若 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是有限维的, 则 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 的任一子空间都是某些线性函数的零化子空间.