尽管我们关于不同生产函数的替代弹性测度的许多讨论都假定规模报酬不变，但是在很多情况下该假定是不必要的。本题将描述一些这样的情况。( 1 )在脚注6 中，我们证明了，在规模报酬不变的情况下，两种投入生产函数的替代弹性可以表示为:[tex=4.429x2.643]SkH91d4/U/7cidpAa3dhQTZrjqw2M357E5mWDEAnN8Y1wJQg62caaWBrCOL24GmF[/tex]现假定我们定义了一个位似的生产函数:[tex=7.214x1.357]HhLBfIZHIJfp4OQXYdxDmkYEtGoP9SxcQyY5GyLZyRY=[/tex]其中，[tex=2.429x1.357]WP/6WEDMGlHdHLayrR0KBA==[/tex]是一个规模报酬不变的生产函数，[tex=0.571x1.0]TTplrYCukzr0Q6LQ5f7qtw==[/tex]是一个正的指数。证明:该生产函数的替代弹性与原函数[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]的替代弹性是相同的。(2 )证明:这个结论对于柯布-道格拉斯生产函数和CES 生产函数都是适用的。
举一反三
- 考虑不变替代弹性(CES)生产函数, [tex=14.643x2.429]t7tiX6PCxLSY3iS/ClVDEK2L8+ZMII6hM+OEi4T9asyPugQu45Q1BggFsF2VDUX3xsUePxI1SqwXpM9q5nTbNGq4YklXuGUcCULnN6j0tli2HCP+DKQb1JJprG6w+yAM[/tex]( 其中[tex=4.786x1.071]zp+RAClFFz4rRP3uIGLiVH7Mn8AUzrU9xBygPnfa9ws=[/tex] 且 [tex=2.429x1.214]kVuYi4TBvGah7dzdq5f2pw==[/tex] 。 [tex=0.571x0.786]G/buLKOLYVDEKMZ76t752w==[/tex] 为资本和有效劳动之间的替代弹性。在 [tex=2.643x1.0]j7M8rEUXdTjhaaXvBNM8Ky+ubNiwHKMSP77DYgvFls4=[/tex] 的特殊情况下，CES 函数就成为 柯布一道格拉斯函数。)证明：该生产函数为规模报酬不变的。
- 已知柯布-道格拉斯生产函数为 [tex=5.429x1.429]6LBp9TPMWyFp/xZoJSH3FoAx4tvoZ2+5mmamIVoX0SA=[/tex] 。请讨论该生产函数的规模报酬情况。
- 在第8 题中，再次运用欧拉定理证明:对于一个只有两种投入([tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]和[tex=0.357x1.0]5vVfAZliYwqMw8JaLE+iEA==[/tex])的规模报酬不变的生产函数，[tex=1.071x1.214]5yyvzvTPBJvGdarbNdkyvQ==[/tex]必为正。解释这一结论。在多投入生产函数的情况下，是否存在类似的约束?
- 假设生产函数[tex=7.786x1.357]Gp7mJ8l4R//lyugH0v6R7fT7rFe2kB3qVxePMEYU4pg=[/tex] 。分析该生产函数的规模报酬情况。
- 考虑不变替代弹性(CES)生产函数，[tex=16.143x2.0]v4tsUiMxLcpkdVZy6SXnSqU8nb+O9SJg3riMs1AJW1/OATAu4ws8Svk4bNBE2fq1EUfPZyPBHEBbn5MSFDvvZIMcjh9N7+EhsVDpH/RyBoIx1jB1Dew95G0PdgXUAuSm[/tex](其中[tex=4.643x1.286]b+jWyaYybmCzLUaYEPQmlS9XtJOLuIKQejyDSb5Fg3A=[/tex]且[tex=2.357x1.286]IBpIvrSN3lTOuw2lJw1LoSJHfq37DUa1kF5mqhadccU=[/tex]。[tex=0.643x1.286]LTFTesLIJc93sanD/R60mA==[/tex]为资本和有效劳动之间的替代弹性。在[tex=2.571x1.286]xpj4Ew8vc7ZMeXJfr/yLzhLAHJC2DK+K/Q0s29x7sKo=[/tex]的特殊情况下，CES函数就成为柯布一道格拉斯函数。)在什么条件下该密集形式满足稻田条件？