在第8 题中，再次运用欧拉定理证明:对于一个只有两种投入([tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]和[tex=0.357x1.0]5vVfAZliYwqMw8JaLE+iEA==[/tex])的规模报酬不变的生产函数，[tex=1.071x1.214]5yyvzvTPBJvGdarbNdkyvQ==[/tex]必为正。解释这一结论。在多投入生产函数的情况下，是否存在类似的约束?
举一反三
- 欧拉定理意味着规模报酬不变的生产函数 [tex=5.143x1.357]1mjhotb7sJ3bbdxNGuB+sQ==[/tex]有[tex=5.571x1.214]xJg2/JQQEMexTZCwU3R5BtQUxMt4hQ2+69KJmP2/44E=[/tex]运用这一结论，证明对于这种生产函数，如果[tex=5.357x1.214]6KJ6K+huKcfha8D0XW6spw==[/tex]，则[tex=2.214x1.214]9/YJOFTBl1Rmccgqexv8OA==[/tex]必为负数。
- 尽管我们关于不同生产函数的替代弹性测度的许多讨论都假定规模报酬不变，但是在很多情况下该假定是不必要的。本题将描述一些这样的情况。( 1 )在脚注6 中，我们证明了，在规模报酬不变的情况下，两种投入生产函数的替代弹性可以表示为:[tex=4.429x2.643]SkH91d4/U/7cidpAa3dhQTZrjqw2M357E5mWDEAnN8Y1wJQg62caaWBrCOL24GmF[/tex]现假定我们定义了一个位似的生产函数:[tex=7.214x1.357]HhLBfIZHIJfp4OQXYdxDmkYEtGoP9SxcQyY5GyLZyRY=[/tex]其中，[tex=2.429x1.357]WP/6WEDMGlHdHLayrR0KBA==[/tex]是一个规模报酬不变的生产函数，[tex=0.571x1.0]TTplrYCukzr0Q6LQ5f7qtw==[/tex]是一个正的指数。证明:该生产函数的替代弹性与原函数[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]的替代弹性是相同的。(2 )证明:这个结论对于柯布-道格拉斯生产函数和CES 生产函数都是适用的。
- 假定生产小饰品的生产函数为:[tex=8.357x1.429]lEHDT2YuDuPCoBkhzYCfsyR4FOHWUIVEviPnLttWZVQ=[/tex]其中，[tex=0.5x1.0]NSsYk+dfiqXGkmCPT5DyRg==[/tex]代表小饰品的年产量，[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]代表每年的资本投入，[tex=0.357x1.0]5vVfAZliYwqMw8JaLE+iEA==[/tex]代表每年的劳动投入。( 1 )假定[tex=2.857x1.0]C83tqeJR5553DGzogWz1jQ==[/tex]， 图示劳动的总产出和平均产出曲线。当劳动投入为多少时，平均产出达到最大?在该点的产出量为多少?(2 )假设[tex=2.857x1.0]C83tqeJR5553DGzogWz1jQ==[/tex] ， 固示[tex=1.857x1.214]D+LAje4ZMdnBeyGhvpmYMA==[/tex]曲线。劳动投入为多少时，[tex=3.714x1.214]G8g/FgQlAzedxndEAcvTQA==[/tex]?(3 )假定资本投入增至[tex=2.857x1.0]3h/vCmm3vU92ts5GyPAj+w==[/tex]， (1) 与(2 )中的答案应该有何变化?(4 )小饰品的生产函数呈现出的规模报酬是不变、递增还是递减?
- 选择[tex=0.357x1.0]+eJLelx8thmbkEj/Y0iCOw==[/tex]与[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]，使 １） 1274[tex=0.357x1.0]+eJLelx8thmbkEj/Y0iCOw==[/tex]56[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]9 成偶排列；２） 1[tex=0.357x1.0]+eJLelx8thmbkEj/Y0iCOw==[/tex]25[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]4897 成奇排列．
- 考虑不变替代弹性(CES)生产函数, [tex=14.643x2.429]t7tiX6PCxLSY3iS/ClVDEK2L8+ZMII6hM+OEi4T9asyPugQu45Q1BggFsF2VDUX3xsUePxI1SqwXpM9q5nTbNGq4YklXuGUcCULnN6j0tli2HCP+DKQb1JJprG6w+yAM[/tex]( 其中[tex=4.786x1.071]zp+RAClFFz4rRP3uIGLiVH7Mn8AUzrU9xBygPnfa9ws=[/tex] 且 [tex=2.429x1.214]kVuYi4TBvGah7dzdq5f2pw==[/tex] 。 [tex=0.571x0.786]G/buLKOLYVDEKMZ76t752w==[/tex] 为资本和有效劳动之间的替代弹性。在 [tex=2.643x1.0]j7M8rEUXdTjhaaXvBNM8Ky+ubNiwHKMSP77DYgvFls4=[/tex] 的特殊情况下，CES 函数就成为 柯布一道格拉斯函数。)证明：该生产函数为规模报酬不变的。