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  • 2022-05-28
    火 箭飞行时，火箭内部的燃料发生爆炸性燃烧，产生大量的气体从火箭尾部相对于火箭以恒定的速度u向后喷出，如图3.9所示。假设在i时刻，质量为m,的火箭(含剩余燃料)，相对于某惯性系的速度为n,单位时间内从火箭尾部喷出的气体质量为a,沿飞行方向火箭受到的外力为F.(1)求火箭运动的微分方程;(2)若火箭从地球表面从静止开始竖直向上发射,其初始质量为[tex=1.5x1.0]9gA50PUTU8NaIzcEFTsOJg==[/tex],忽略空气阻力，重力加速度g为常量,求火箭发射后飞行速度与时间的函数关系[tex=1.643x1.357]L5y3zBBVbwHzHLMq638VsA==[/tex];(3)若火箭在星际空间飞行，相对于某惯性系的初始速度为[tex=0.857x1.0]RgdIKllY0XaiJRBH+1GgPQ==[/tex],质量为[tex=1.571x1.0]u0LKrsCrlUkoRCrQnnTzxQ==[/tex] ,燃料耗尽时的质量为[tex=1.214x1.0]ih8bJkEySs2f+aGjKfWK8g==[/tex],求火箭的末速度[tex=0.5x0.786]GWrvJtODhYOBa2bpkSPSFQ==[/tex]。
    • 分析:火箭飞行问题是典型的变质量系统的动力学问题.对此类问题的求解,关键在于灵活应用动量定理及动量守恒定律解: (1)以火箭及其喷出的气体为一个系统，火箭的飞行方向作为运动的正方向.在1时刻，系统的动量为 [tex=5.071x1.5]B/7L+GvN5u4m1TTw3QcfWESEM/l+4NYDme0CrN5DOoM=[/tex]在[tex=2.5x1.143]KpsxeaBqMeEGYl4hweqPJw==[/tex]时刻.火箭的质量和速度分别为[tex=3.429x1.214]j9wlK37DoJ9rabDpAAsWJA==[/tex].和[tex=2.286x1.143]LVYHiVn4p67zvqFWLx4JGQ==[/tex],在d!时间内喷出的气体的质量为dm ,相对惯性系的速度为[tex=1.857x1.071]eAoLhdsrDhHL6LyON0uDGQ==[/tex] ,故在[tex=2.5x1.143]6D/UPTeP1p2aVTZF/nPssA==[/tex]时刻系统的动量为[tex=18.143x1.357]SgCSq1Wwp4EhGJBiCVQbtW+/xnm3UArzYanG3flMnfAj6e7Lr1xwswic/AAXvl3ZwBNFj9o3nw0YvOhtq60Hsw==[/tex][br][/br]根据动量定理有 [tex=25.857x1.357]dqsMUunx9UvxEjYF+kbpPUMzWQYm+qrbThn2w5lXFGfJMSJfnYJ/dhsxiUltUBTh3LaxF2HpP19ZdNPsJnP1XD0gz+PmgCHCT77LH8AG6+k=[/tex]即 [tex=10.5x1.214]x8Sxbr0Ku+UocIW9s6SsaylJr/ryv09nBHuEgRAXEkcPHt9dd9R7TKOWOgVu578W[/tex]忽略二阶无穷小量可得 [tex=13.857x2.429]4Itnrtqs39004XF23GOvwPB3fK+R+Q4xG+TxtfUR/QyOKUzc6d4nhoI6C4hu+MidGGTHFAecqEUrYyTSlYv9obeotMkIdpvjNkFrI8OTXRU=[/tex] ①式中[tex=1.286x2.429]+21b78YPJNRutoE2g5dyZUaY7d19LdNVTUnZo8IBfVI=[/tex]就是火箭所获得的加速度，[tex=3.286x2.429]RRnSFIn2rXMF9mOxpyuujS9xgaMzZPv7lNSGl3XPCTU=[/tex]是火箭在单位时间内向后喷出的气体质量,它等于火箭在单位时间内减少的质量,即[tex=4.929x2.429]saYUH4eJBkyZmTKwajl1skdlpFB+KpM8u1mk9hzZbjwqlwLMjploWNvW1MjjvuZg[/tex] ②将②式代入①式并整理得[tex=7.5x2.429]RtJ3UgnKInZWY9ytmKuRHerNmCTZe2pBOXgPXUf2oT1twL3zTJiQOOdhR7tWOEI3z8uiNXe6FP0KP+FZnqkeZQ==[/tex] ③[br][/br]此式即为火箭运动的微分方程.它表明火箭的加速度由[tex=4.143x2.429]HQtIgXzLvb1Cr1YgMAtu+aditu+qX6uFq6ASfIkOS9s=[/tex]决定，[tex=3.5x2.429]eC5exwXRXNm9E8vnTAyui9GNWRS928Ndi42vmU4t3Ic=[/tex]称为火箭发动机的推力在外力F一定时，气体向后喷出的速率越大,单位时间内喷出的气体质量[tex=9.143x2.786]7E29zmEeZl2zugxMdKUx4doVYOE+dNaFAICbFpyx2dTuGp6vKn6KpwjOT3AWk4QmQxWmHGhjNOktdsbrM3XZfg==[/tex]越大，则火箭发动机的推力越大，火简的加速度越大.(2)若火箭从地球表面竖直向上发射.在忽略空气阻力的条件下，火箭只受重力的作用，由③式得[tex=9.286x2.429]+Z+kxOrr/a/DEj7YUztTyBNVvLUA4NEWHxzi52skRq6oWQ4D/DzmjpETC9Xael1631lZjGWA0Twz7Km2DaPALA==[/tex]又由题意可知,[tex=5.857x1.143]ovAXteEn2b8QeUQFHY+nyTmLOxdQ/q2gDsOvqPh9V+c=[/tex]t,将之代人上式并整理可得[tex=8.571x2.571]H1AmHSKNvRfpH9aAxq5r540jB3rTAxGZ4KheD3BQaJMyZBbl9DtN4X7kvr2AaDykpMXNB118gDoUfzpxGJs/Qg==[/tex]对上式分离变量并取定积分,有[tex=13.429x2.857]N2yz6vBdcVr/RqCsEP7sxjueKTuINmGy9sLJ583dBOZkbE56Kr9jte67oIM3NJyKMEIn/SEUXMCJApB/nFbftX0+9JSKuO4Z9zIWKNsTuQ9Q8UvhybNA3WMpweI0R+GH[/tex]所以火箭在任意时刻的飞行速度为[tex=9.357x2.286]T/RMfqwVJfPKa4mUBo4zn5p0xUJ9p6OVPhDR7+2M0TevVwF+FWv9gPGYJgCzebFu[/tex](3)当火箭在星系空间中i飞行时，系统所受的合外力为零,即[tex=2.5x1.0]gu+8QsmS00KkYAJ7Q8d07A==[/tex].由③式得[tex=5.5x2.286]Svf6czvlAaF2VIUnirJw1tESRgZocFtHWfMELYTbrY4=[/tex]对上式两边同时积分,有 [tex=10.857x2.929]831mpmYtNNRx26Q0+dQroMxGw2s3wLt3q2xMAbM1ymOwhD1qLaqXZdaFcJ9T+UnkwJb1Z2hDiHg+NB5tyIAFSLXsCldQNtIXxL20SoIm2qg=[/tex]由此解得火箭的飞行速度为 [tex=6.857x2.286]0Qp0iS6QUsL7DfeClHD2e5gUJDKoKwuT/aUEqozvARxh+XToXFduoyX0BrE32b7I[/tex]式中[tex=3.286x1.357]BJ1skqLgoz3RJ6x2Pj9H4QWCdTjFpapGU8wgYU+0Ylo=[/tex],为火箭的质量比[br][/br]现代火箭的喷气速奉理论上可达[tex=5.5x1.357]cVkvwQDnRJHUqEdnBAeCEd0OhhaQaMXV7pXmPnCJjCE=[/tex],但实际速率最大不到理论值的一半.若火箭的质量比为3.初始速度为[tex=5.0x1.214]Rlc/f4G6x/Io4XiofP3CTJK8J96HiQs0Spojv8iYaow=[/tex]. 喷出气体的速率为[tex=5.0x1.214]Zy14CRFjlXZvUN+8ZErmJIFdaVY1+MZSL8C5kNxYHxw=[/tex],则该火箭可达到的末速度为[tex=5.0x1.214]w4Nc8CsvdetFynvTOZu2rbh8/WWLQ5ip7S01GPaBSA8=[/tex]由于单级火箭的质量比不可能做得很大.因此要将人造地球卫星送人预定轨道.必须采取多级火箭。
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    举一反三

    内容

    • 0

      如果忽略空气的影响，火箭从地面发射后在空间作抛物线运动。设火箭的质量为[tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex], 以与水平面成[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex] 角的方向发射, 发射速度为 [tex=0.857x1.0]H4Kf9rHTBSFrzdtxc2YGZA==[/tex].。到达最高点的速度为 [tex=0.857x1.0]Gulw75DLpb9Jxz3bC3CYZw==[/tex], 最高点距离地面为 [tex=0.643x1.0]uPu/UBwxTDghY6MHYDLmcA==[/tex] 。假设地球是半径为 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的球体, 试求:火箭在离开发射点的瞬间相对于地心的角动量。

    • 1

      (1)火箭[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]以[tex=1.714x1.0]+kcG+chBeV/DysB2YxMzfA==[/tex]的速率相对于地球向东飞行，火箭[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]以[tex=1.714x1.0]JPxsqrFKbBlTH7pYiabWnA==[/tex]的速率相对地球向西飞行，求火箭[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]测得火箭[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的速率的大小和方向。(2)如果火箭[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]向正北飞行，火箭[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]仍然向西飞行，则由火箭[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]测得火箭[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的速率大小中方向又如何？

    • 2

      一质量为2.72×[tex=1.429x1.214]bfYVtl9SlEUF/tvBgtI6KA==[/tex] kg的火箭竖直离地面发射, 燃料燃烧速率为1.29×[tex=1.429x1.214]hB6YKB3HiJ9y6tUnfuFB4g==[/tex] kg/s.它喷出的气体相对于火箭体的速率是多大时才能使火箭刚刚离开地面?

    • 3

      一火箭的固有长度为 [tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex], 相对于地面做匀速直线运动的速度为[tex=0.857x1.0]H4Kf9rHTBSFrzdtxc2YGZA==[/tex], 火箭上有一个人从火箭的后端向火箭的前端上的一个靶子发射一颗相对于火箭的速度 为[tex=0.857x1.0]Gulw75DLpb9Jxz3bC3CYZw==[/tex] 的子弹. 在火箭上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔是(） 未知类型：{'options': ['[tex=5.071x1.357]rlZlcNu0m7DFYgQvuiWYnJYca3SSNPuOC0IRHymy0cE=[/tex]', '[tex=1.857x1.357]QKB8AJM09vJ9VFFA5awERg==[/tex]', '[tex=5.071x1.357]VIccF9ENE48m7O/zHR8vxOJRG2emomhrsAuZ/G1qhHM=[/tex]', '[tex=7.571x2.214]FQgWoch1z9pWa5W6AUsF8xU/e8z5EvvZsXMgM94Tj/9eFHjQSPJaRJ1CwuAS8x6s[/tex]'], 'type': 102}

    • 4

      火箭[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]相对于地球以[tex=1.714x1.0]+kcG+chBeV/DysB2YxMzfA==[/tex]速度向[tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex]轴正向飞行,火箭[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]相对于地球以[tex=1.714x1.0]JPxsqrFKbBlTH7pYiabWnA==[/tex]的速度沿[tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]轴负向飞行,试问火箭[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]上的观测者测得火箭[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的速度是多少?