已知二次型[tex=8.429x1.5]laEzR1IUAbB3F6co2ymLhc4Tm5xpwYK3+nsgsnQcCAsJTHAukGuXRuuRwDrPbo64[/tex]通过正交变换化成[tex=4.929x1.5]1IFe5Z4Y60Mc26mdSv1jgS/OYq9LsnQcTJ3kfzjfDzQ=[/tex]，方程组[tex=2.929x1.0]AJjUpBS0VJylgJggEDF/WQ==[/tex]有解[tex=5.071x1.5]+x/iCm2G7JZgrN3iJ+KwGwBbV0nZFFu3MEvsFdDEn2s=[/tex]，求所作的正交变换及二次型的矩阵[tex=0.786x1.0]kEam2pLJe4uAYVdcny2W5g==[/tex] .

2022-05-30

已知二次型[tex=8.429x1.5]laEzR1IUAbB3F6co2ymLhc4Tm5xpwYK3+nsgsnQcCAsJTHAukGuXRuuRwDrPbo64[/tex]通过正交变换化成[tex=4.929x1.5]1IFe5Z4Y60Mc26mdSv1jgS/OYq9LsnQcTJ3kfzjfDzQ=[/tex]，方程组[tex=2.929x1.0]AJjUpBS0VJylgJggEDF/WQ==[/tex]有解[tex=5.071x1.5]+x/iCm2G7JZgrN3iJ+KwGwBbV0nZFFu3MEvsFdDEn2s=[/tex]，求所作的正交变换及二次型的矩阵[tex=0.786x1.0]kEam2pLJe4uAYVdcny2W5g==[/tex] .

答案：

[b]解[/b]    由于二次型通过正交变换化成[tex=4.929x1.5]1IFe5Z4Y60Mc26mdSv1jgS/OYq9LsnQcTJ3kfzjfDzQ=[/tex]，所以[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的特征值为[tex=3.929x1.214]6CzHpBoEVdfGanuoycm4yGYkA1IXcN8HD7HzPGFskcc=[/tex]，[tex=2.214x1.214]dqGIuGZkozEH/c1LBqF2kw==[/tex] . 又[tex=2.929x1.0]AJjUpBS0VJylgJggEDF/WQ==[/tex]有解[tex=5.071x1.5]+x/iCm2G7JZgrN3iJ+KwG8Jkis7ophnba1w5eorn4+U=[/tex]，所以[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]是[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的对应于特征值[tex=2.214x1.214]mzl1n+lP84Ym3XhJ7KUHkA==[/tex]的特征向量 . 由于二次型的矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正交 . 故设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的对应于[tex=3.929x1.214]6CzHpBoEVdfGanuoycm4yIeBdNgrO1sRz0rLleTngQI=[/tex]的特征向量为[tex=6.429x1.571]6DUhzWS4HOsveT/YTuamhCioIqCSSF8z+v1V36NgA/ueuQe3OmCEo1VeeFp1FLSg[/tex]，则 [tex=6.357x1.429]q9g8lJP3RGbG8GyENj4B6XyxpusakZuc5NxOBsxMHLhWB5mnqSIm0rNOnPqsSKfP[/tex]，于是得[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的对应于[tex=3.929x1.214]Qc9hW5Uqam5sgs4jbcMf7WwlOWUO8qD10PNX8grmLXM=[/tex]的两个线性无关的特征向量为[tex=5.357x1.5]rBoyd9CIMRmdhbnSRjUCMuuxOQrdAZYECxX9TTIsCeI=[/tex]，[tex=6.143x1.5]UAWYnpd652xYEWtjJTwbDX3XmvXuuV286vvyQT9ZHkw=[/tex]. 显然[tex=2.286x1.214]yeVzZBBZCQfR+mjUDVHZBOBn0fO/PVIPD6aCYQYq1Ug=[/tex]已正交，再将[tex=3.429x1.214]yeVzZBBZCQfR+mjUDVHZBJwaE1IfnTCVjvaIMLN4PJYIlUI2geLmgNC7LvOVsPN4[/tex]单位化，可得正交矩阵为[tex=11.214x6.643]OwAEH/Gxn3EoUTp+oFenUYDK6QkOgbGGCdzWKa1PTFjFZ07Swvnw+CznsPT3S0dhZe1HzLQXRlpDuXE9qO0u6lAC5At2ccX8gaoK+fNqwN4XaIndYynUyFBzUvhwXm6ZqEtPr3clOxXqLwZ+hEGJZB2x6vIX8tIiEcSCADuhk+o+0JPitcNtbgG7QyXLLvJDyssNfW3SjzllKbWFS+uRzw==[/tex]，所求正交变换为[tex=2.643x1.214]6v715vdEC455DcDJQLve5Q==[/tex]，且[tex=11.786x3.5]ZAiaxRx6gnaD+jXKZeKhyW3+nEFKCfMviFBvZlRNoj6a/kA0lLdk0hspBWokv5Choo9wmAJjpZz+k+3JL/Aii1YcJaoZdb+ixoo30xUOkAV+k8qwMRWPO3Jn28nLqUQHWeawsDpAlkcQshZgvHq2/A==[/tex]，[tex=9.071x1.429]x3dr9UAYkdFLa1/cuJZweTv7jp0W6Il0RrTeTebmHUcDa+hVUTHKyHD2jK25K+yP[/tex][tex=7.643x3.643]075gCzZzsMRb6HYXYk9X981blyLX29KCItuK/TNOr5Psd82wC9sUJ2jht6kGahAdtZ5EyTVQ33wwr+7pB8nSBEWN5BfFrjJiAfNZ/ojh5Cze1LOXliHasQclLAeddM5q[/tex] . 

举一反三

内容

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已知二次型 [tex=18.929x1.5]CKlOGn/4oc+CIjd/NrEXYPhQcOxbayDLiIEl1Y4eXolxqQCIevmK9h5Prp/QCjoKNYJ81Po2RFwIvsJ0hU7rpbvzqWqvVCche4cfKgK9+l8Q1a1TZu69Tz56rfv2LbXlQ8G01mTkv+lkjf/yxorYxw==[/tex] (1) 写出二次型 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 的矩阵表达式; (2) 用正交变换把二次型 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 化为标准形，并与出相应的正交矩阵.
1
[tex=2.214x1.0]Z8GWW72u+MH/mjafnp+83A==[/tex]丙酮酸经过丙酮酸脱氢酶系和柠檬酸循环产生[tex=4.0x1.214]EPDWVFNjIR8daNoozaWRDg==[/tex],生成的[tex=3.214x1.0]1AqDCKqjaAug6buHS5Z0tQ==[/tex]、[tex=3.429x1.214]HYAn2+I9AZQLWcA3ajoPaw==[/tex]和[tex=2.143x1.0]qQANfGnLx7pE5mcaEibuNg==[/tex](或[tex=2.071x1.0]YGdeb/NAM7yg+XY6SY16Fg==[/tex])的摩尔比是( )。未知类型：{'options': ['3:2:0', '4:2:1', '4:1:1', '3:1:1', '2: 2:2'], 'type': 102}
2
已知3阶矩阵A与3维列向量 x 满足[tex=6.857x1.357]zd0nq0IiNsY0hFTyLJHQy4eC+A8zUY14VqChcVve0aM=[/tex],且向量组[tex=0.714x0.786]Qp78QkdFrqytlOsANWrP9w==[/tex],[tex=3.5x1.429]c2YtesCJSYo0KOSy0rMECg==[/tex] (1)记[tex=10.643x1.357]3tyZrBE07WCx0ZFK2Y3aVjbjYUrJ/5Q0lIjkUE1dgc8=[/tex],求三阶矩阵B,使AP= PB;(2)求[tex=1.357x1.357]0awZUhfhOcjHk6LSkdT6Gw==[/tex]
3
已知二次型[tex=18.929x2.214]xox/JFSTD1BJ3wOzgZCQ7acwVbjKPrQYylIMmOWBVXXdUUVmIR47JiTIkReDgDilTFfddq5zi6Nh1rVpwnBkSOdspNcxeDKIS+jtnfdaX/yxNeQkPrD/OpFWqKuuf8MxwgE9uGuLpxYPmQSaPMQnxQ==[/tex]( 1 )求它所对应的矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]及其秩[tex=2.357x1.357]BpFJngQSjtZd2im15roR+A==[/tex];(2) 当[tex=3.571x1.357]SiDZmn6dlw4tvIGTOn9LEw==[/tex]时求正交变换[tex=2.643x1.214]6v715vdEC455DcDJQLve5Q==[/tex],使得二次型可化为标准形.
4
求函数[tex=3.286x1.429]kdT+eIE7CHPynuN6CaN40g==[/tex]（抛物线）隐函数的导数[tex=1.071x1.429]BUw1BPFU3fsJlAl/vt9M9w==[/tex]当x=2与y=4及当x=2与y=0时,[tex=0.786x1.357]Hq6bf3CacUy07X+VImUMaA==[/tex]等于什么?