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  • 2022-06-01
    证明定理：设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是一个有单位元的环, [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 上的一个未定元.(1) [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的零元 0 就是[tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex]的零元 (即零多项式);(2) [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 是有单位元的环，且 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的单位元就是 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 的单位元;(3) 如果  [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]  是无零因子环, 则 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 也是无零因子环, 且 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 的单位就是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的单位;(4) 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是交换环，则 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 也是交换环;
    • 证明   设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是一个有单位元的环, [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 上的一个未定元.(1) 对任意的 [tex=4.714x1.357]E92k+8beCtfvCBAIsDWz4X7eT1tKCGTwYi97Q9OlTNQ=[/tex]有 [tex=9.929x1.357]9eabXe0lb7/com/6FMyTg2L5I+A0JP4fAPuHOv/DRkw=[/tex] 所以 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的零元就是 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex]的零元.(2) 对任意的 [tex=4.714x1.357]E92k+8beCtfvCBAIsDWz4X7eT1tKCGTwYi97Q9OlTNQ=[/tex] 由于[tex=9.857x1.357]7pMTBz4B/9MbnzrbPm5xI5z8B5lns1Uk/6hju4CLyoPkKRZlOIV6EA82doPKXtf6[/tex] 所以 1 是 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 的单位元.(3) 设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是无零因子环, [tex=6.071x3.286]nCkXbNnBj3Mu8GK2n5xWoIxzW1tViYOvY3wvYNOY4bMfOuvhqzZIih7lPRD8RD/M[/tex]与 [tex=6.0x3.429]gHtscCkXPIt2IeQP58UrrGSdiHYFOP1LCz2u5X5atqDnn0zdS/pvnjpU3+m+eSrH[/tex] 是 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 中的任意两 个非零元, 其中 [tex=4.571x1.214]bb4rKxj/T3tVvJ5SaMmi/NzcOZ17/N4iZCbv0Iz3duE=[/tex] 则 [tex=3.714x1.357]AXo/bl8buP2bvL9y5r/yDQ==[/tex] 的最高次项系数为 [tex=2.286x1.214]7U9PTmPOZ+rU4Gr2DU9XSA==[/tex] 由于 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是无零因子环, 因此 [tex=4.143x1.214]RpwKcH12CqfFWigdDvenk4OkuwcKRb8CItsKNIXd78M=[/tex] 于是[tex=5.786x1.357]YUb1xDAioWH8XYWUURRZh/31ISLs8SPXv+tCJ42cckw=[/tex]所以 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 无零因子环. 又如果 [tex=8.571x3.286]nCkXbNnBj3Mu8GK2n5xWoIxzW1tViYOvY3wvYNOY4bO8d59c6pf+AneFy1rVscbX[/tex] 是 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 的任一个单位，其中 [tex=3.071x1.214]MBuq5JZcUByKA7glliByWg==[/tex] 则存在 [tex=8.857x3.429]gHtscCkXPIt2IeQP58UrrGSdiHYFOP1LCz2u5X5atqDLMF6dYQXoI9PcUFczg9EE[/tex] 其中 [tex=3.214x1.214]FXBnXIBGgAYCTaJ88O632w==[/tex]使得[p=align:center][tex=12.0x1.357]eQGGnASzNaVAVD5m7vh91E97u91TEH17bzzjsHZ1P3CeHBis7deL/M95UhBjmoyU[/tex]由于 [tex=10.429x3.429]UP2mH9xGK9vXRqGMwPWSWHDXrFGU+7+TFOaJo6hXCON30QTlRPzu4cDbQFwDQGxHubNhZQTbvlgc+pBsLf3sig==[/tex]其中 [tex=13.571x2.857]QzN6+ke8qLfamSYF1s0OyA/oVMtVFSWVklvilU/BtKYSH2CcsKkjnr9L++4n+N13aeEYV1fD54JJ+CsGeBZozQ==[/tex]故 [tex=2.214x1.143]UAHg6uLdVAER+P3v2jamSw==[/tex]的系数[tex=5.071x1.214]TRR2az3Ufnkj4Q0WytHWKFQ8UGu0A/2X1v5UEF28LNg=[/tex] 于是得 [tex=3.857x1.214]2cyKDL086fbeurUDbln5rQ==[/tex]且 [tex=3.214x1.214]Rkh4Lw0NNWeH50Ej7wh/ablCVn+jtz4EdW7H+QsS+Ws=[/tex] 同理, 由 [tex=5.714x1.357]oZWVyBu0StjevWb/m/ZsBQhx7RWu/IOLZ8QeBBzz8ww=[/tex]得[tex=3.214x1.214]XVAtJPVmxU609LB3BJ1n07PVwIxdlUWkenG5DRuOPGw=[/tex]故[tex=5.214x1.357]Jx/4mXznlZd59IUncC/QylPAOayfCtMhjQHrggNbn/Y=[/tex]且 [tex=0.929x1.0]zKG43fuesyDy9dBPyrJh5g==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 中的单位.(4) 若 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是交换环. 设[tex=15.286x3.429]nCkXbNnBj3Mu8GK2n5xWoIxzW1tViYOvY3wvYNOY4bMHQ6pXqomKvOiit4yKOBCOjgkVHmUWE+98Hcl+gBcgBg5GsJjZKqZh2BwrU6cjscw=[/tex] 有[p=align:center][tex=18.571x3.429]Zq5hT+RuIXWulx/mIC168n7j84ns8ZxjmirRWlv/a2Kynxjj9AmxYuYLh/s7DU4F0ctQ9jnxX8VAj/bUz1JXFpcBkTDcjtrSRZFE2xxNCg58T5Ytk9QzS1OmjZFvioGK[/tex]则 [tex=19.857x2.857]QzN6+ke8qLfamSYF1s0OyFYTrQ0Yp7tybKqsuPjyyP6TL9LWecBh3rV+3P5z+9sBwpHozA97SPIMGdR+GIk2MSGNXyydDm9pxit7/hkOGcXuXQ+MAYDrANXI6JCjwxPj[/tex]于是 [tex=8.143x1.357]LHTqORD7NvNw+uFm5G0E3E9gy4YcThUGUhy936gNPQE=[/tex]所以[tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex]也是交换环.(5) 若 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是整环, 则 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元的无零因子交换环, 故由 (2),(3),(4) 得 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 也是有单位元的无零因子交换环, 也就是整环.[p=align:center][br][/br]
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    举一反三

    内容

    • 0

      设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是整环, 证明: [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 也是整环, 且若[tex=8.714x1.357]oVr3Dwq4mCJpVeSnaB2gBav6gzXX+4IxyzkrLDKnpT4ofCdHisdPAVuC8sqanZWC[/tex], 则[tex=16.5x1.357]79Wd/JsaQKi3RBB3vwr83y9aNKwSst378OWInw7DpxyGmQvFvzv47TsWEB5CANufqeVJfC5Y+JfjLUHVVTF8QBv5sk3NVPESDFkfmPLVHWl2szY4MP7dPrINkk8Lxn2x[/tex] 

    • 1

      假定 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是模 16 的剩余类环. [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex]的多项式 [tex=1.0x1.214]M3ejp0abpaUbronXuku+CQ==[/tex]在 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]里有多少个根?

    • 2

      设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是整环, 证明: [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex]中的可逆元 (即存在逆元的元素) 恰是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中的可逆元.

    • 3

      设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是交换整环，[tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]上的一元多项式环，[tex=3.857x1.357]08KAQS07lnW3KbEsVzyEgw==[/tex]，证明[tex=9.643x1.357]79Wd/JsaQKi3RBB3vwr83w8M9eAgpYDtrTS0yKcWxYhjhe8CvfLviGuH10wMM8R3+/XGiGHeT44WaH8Se0A3pUmLGBi1p5WHBtb8TSD7YH8=[/tex]，试问对一般的交换幺环，上式是否成立？

    • 4

      证明 [tex=0.786x1.0]59uVln8a2zRyv0n5hgPyQg==[/tex]的一元多项式环 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 能与它的一个真子环同构.