设[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]是数域，证明：在[tex=2.0x1.357]s5rkuaa09tHVOqNEBnxxWg==[/tex]中，不可约多项式[tex=1.857x1.357]QF8vxZyGYgv0Fua83iwDhg==[/tex]是[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]的[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]重因式[tex=3.143x1.357]ns+Gfd/sDiHETPztD2JxLQ==[/tex]的充分必要条件为：[tex=1.857x1.357]QF8vxZyGYgv0Fua83iwDhg==[/tex]是[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]，[tex=2.214x1.429]i+dnt0m+Vi0IpEF4DSu/zA==[/tex]，[tex=1.286x0.786]lRSLJav0cvc1uYdx/9plcw==[/tex]，[tex=3.786x1.571]JkJB/O5GW0XuXAqtAsnp0w==[/tex]的因式，但不是[tex=2.929x1.571]cjk0Xtxo6L3XGBCNxZt4Pg==[/tex]的因式。
举一反三
- 设[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]是数域，证明：在[tex=2.0x1.357]s5rkuaa09tHVOqNEBnxxWg==[/tex]中，若不可约多项式[tex=1.857x1.357]QF8vxZyGYgv0Fua83iwDhg==[/tex]是[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]的导数[tex=2.214x1.429]fse1lYAH4YL0Hqjwwm8Q7A==[/tex]的[tex=1.857x1.143]ZsB97Gn905OnGGQYNL3gPQ==[/tex]重因式[tex=3.143x1.357]ns+Gfd/sDiHETPztD2JxLQ==[/tex]，并且[tex=1.857x1.357]QF8vxZyGYgv0Fua83iwDhg==[/tex]是[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]的因式，则[tex=1.857x1.357]QF8vxZyGYgv0Fua83iwDhg==[/tex]是[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]的[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]重因式。
- 举例说明：在数域[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]上的一元多项式环[tex=2.0x1.357]s5rkuaa09tHVOqNEBnxxWg==[/tex]中，一个不可约多项式[tex=1.857x1.357]QF8vxZyGYgv0Fua83iwDhg==[/tex]是[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]的导数[tex=2.214x1.429]fse1lYAH4YL0Hqjwwm8Q7A==[/tex]的[tex=1.857x1.143]ZsB97Gn905OnGGQYNL3gPQ==[/tex]重因式[tex=3.143x1.357]PLJjeCX812uMKLNj30kMcg==[/tex]，但是[tex=1.857x1.357]QF8vxZyGYgv0Fua83iwDhg==[/tex]不是[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]的[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]重因式。
- 证明：次数＞０ 且首项系数为 １ 的多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是一个不可约多项式 的充分必要条件是，对任意多项式[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]必有(f(x), g(x))=1，或者对某一正整数[tex=6.0x1.357]bR39wf/Hz75eMrt08Xqk8wt4bXTUCgLbWgBjqC5Zmko=[/tex]．
- 证明:次数大于0的首一多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是某一不可约多项式的方幂的充分必要条件是，对任意的多项式[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]或者有(f(x), g(x))=1[tex=6.786x1.357]LBShIAKXyumE73h8+CWE0g==[/tex],或者对某一正整数[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex],[tex=5.214x1.357]2b+0ZPIn+JhnqeNAq++wBM+CF08EAq9ClmGz91b+CDs=[/tex].
- 设[tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]是一个域，证明：在[tex=1.786x1.357]DpXALeWBl8+QhoNGSoieqQ==[/tex]中，一个次数大于0的多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]如果满足[tex=6.714x1.429]KDyX0boGZOlM+etbZfPoiiQiLF0IBxqLIx1hRl0QePRkiq019M1EkAUH7K5K2Mxp[/tex]，那么[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]没有重因式。