设[tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]是一个域，证明：在[tex=1.786x1.357]DpXALeWBl8+QhoNGSoieqQ==[/tex]中，一个次数大于0的多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]如果满足[tex=6.714x1.429]KDyX0boGZOlM+etbZfPoiiQiLF0IBxqLIx1hRl0QePRkiq019M1EkAUH7K5K2Mxp[/tex]，那么[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]没有重因式。
举一反三
- 设[tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]是特征为[tex=0.5x1.0]Sc0he7miKB3YF9rgXf2dDw==[/tex]的域，证明：在[tex=1.786x1.357]DpXALeWBl8+QhoNGSoieqQ==[/tex]中一个次数大于0的多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]如果没有重因式，那么[tex=6.714x1.429]KDyX0boGZOlM+etbZfPoiiQiLF0IBxqLIx1hRl0QePRkiq019M1EkAUH7K5K2Mxp[/tex]。
- 设[tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]是特征不等于[tex=0.5x1.0]Sc0he7miKB3YF9rgXf2dDw==[/tex]的域，证明：在[tex=1.786x1.357]DpXALeWBl8+QhoNGSoieqQ==[/tex]中一个次数大于[tex=0.5x1.0]Sc0he7miKB3YF9rgXf2dDw==[/tex]的多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]如果没有重因式，那么[tex=6.714x1.429]agOHETojOlZCoyhdVrXCurKgxoSsUDBvWom9rX/vrEUqRcbBFMqOxSGD5IEHUHnV[/tex]或者[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]有一个单因式[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]使得[tex=3.429x1.429]T7OKF7IzhV1qnxTFOF/QIvhBnCVn9INMX5QO7Ppjn10=[/tex]。
- 设[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]是特征为 0 的域, [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]为[tex=1.786x1.357]DpXALeWBl8+QhoNGSoieqQ==[/tex]中正次数首 1 多项式, [tex=8.071x1.429]vFFvVPk/i2XV6w2VPKZQh9i1pSauwZXtLf9P2wlxnyL29DvspcoFvesFz7r+ZLaC[/tex], 其中[tex=2.214x1.429]i+dnt0m+Vi0IpEF4DSu/zA==[/tex]是[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]的导数. 求证: [tex=6.857x1.357]hCN+dCAlIOnVqUEyVn04UECiDvBNy60wfGeoT81WTs8=[/tex]和[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]有同样的根, 并且[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]无重根.
- 证明：次数＞０ 且首项系数为 １ 的多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是一个不可约多项式 的充分必要条件是，对任意多项式[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]必有(f(x), g(x))=1，或者对某一正整数[tex=6.0x1.357]bR39wf/Hz75eMrt08Xqk8wt4bXTUCgLbWgBjqC5Zmko=[/tex]．
- 证明:次数大于0的首一多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是某一不可约多项式的方幂的充分必要条件是，对任意的多项式[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]或者有(f(x), g(x))=1[tex=6.786x1.357]LBShIAKXyumE73h8+CWE0g==[/tex],或者对某一正整数[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex],[tex=5.214x1.357]2b+0ZPIn+JhnqeNAq++wBM+CF08EAq9ClmGz91b+CDs=[/tex].