求有理数域上一个次数不超过3的多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]，使得[tex=3.643x1.357]v0RaT6QZPg2kDttspb6gQQ==[/tex]，[tex=3.857x1.357]OPvWM46zm/83bx/aoaUmNA==[/tex]，[tex=3.071x1.357]kDFw+qy2tZBVahgxqmuUqg==[/tex]，[tex=3.071x1.357]1zi6dzvJewAjWHA5wV0vKg==[/tex]。
举一反三
- 求一个次数小于[tex=0.5x1.0]2IRxdDa5OUp8cccgqlpdUA==[/tex]的多项式[tex=1.857x1.357]sBGRsVJ0Y3fPPi7d5ztPoA==[/tex]，使[tex=3.071x1.357]T7m7l65tWi9cAM3PMUGOlQ==[/tex]，[tex=3.857x1.357]FfnXiI5/L/s4B+geTcm6ng==[/tex]， [tex=3.071x1.357]X+RdWDegfOm3qearLzBjJw==[/tex]，[tex=3.071x1.357]q/xUSKfuhYaeazRADBH8qA==[/tex].
- 证明：次数＞０ 且首项系数为 １ 的多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是一个不可约多项式 的充分必要条件是，对任意多项式[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]必有(f(x), g(x))=1，或者对某一正整数[tex=6.0x1.357]bR39wf/Hz75eMrt08Xqk8wt4bXTUCgLbWgBjqC5Zmko=[/tex]．
- 证明:次数大于0的首一多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是某一不可约多项式的方幂的充分必要条件是，对任意的多项式[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]或者有(f(x), g(x))=1[tex=6.786x1.357]LBShIAKXyumE73h8+CWE0g==[/tex],或者对某一正整数[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex],[tex=5.214x1.357]2b+0ZPIn+JhnqeNAq++wBM+CF08EAq9ClmGz91b+CDs=[/tex].
- 证明：数域[tex=0.643x1.0]Ft8KOBgb78fnKY0jEt4Rsg==[/tex]上一个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex] 次[tex=3.214x1.357]gJkFLWVH5zNk75r8/evhfA==[/tex]多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]能被它的导数f(x)整除的充要条件是[tex=7.214x1.357]lmeBkU8/ruK6t5RxRgcerg==[/tex]，其中[tex=3.286x1.214]oeWZ4kdc5N+8h2+UwE9GFw==[/tex].
- 设[tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]是一个域，证明：在[tex=1.786x1.357]DpXALeWBl8+QhoNGSoieqQ==[/tex]中，一个次数大于0的多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]如果满足[tex=6.714x1.429]KDyX0boGZOlM+etbZfPoiiQiLF0IBxqLIx1hRl0QePRkiq019M1EkAUH7K5K2Mxp[/tex]，那么[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]没有重因式。