设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为环, 集合[tex=17.429x1.286]1J1SivOWW5Z2LFlO+jxfjuA8rlk01xIOptZycDH6fm7g7o5b+NKM1GTrN/gR+I5wjUgevTCj5VTmWN/Pgsy1UA==[/tex]叫做环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的中心. 如果[tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]为域, 求证全矩阵环[tex=2.857x1.357]9mjonrKL5MA/BYFXOHU6Cg==[/tex]的中心为[tex=5.071x1.357]XhoiciHKKWD94GU+890Pd4mI93//7ReilKT+RYCNhKUAOrzmqNdmqmFGUIZBXqce[/tex], 其中[tex=0.929x1.214]PqwHIDoqhMT/5yMDHQXWFg==[/tex]表示[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]阶单位方阵.
举一反三
- 设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为环, 集合[tex=17.429x1.286]1J1SivOWW5Z2LFlO+jxfjuA8rlk01xIOptZycDH6fm7g7o5b+NKM1GTrN/gR+I5wjUgevTCj5VTmWN/Pgsy1UA==[/tex]叫做环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的中心.[br][/br]求证[tex=2.286x1.357]jF3SYJxDJgm6KahDCZyxrQ==[/tex]是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的子环, 但不一定是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的理想.
- (1) 设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为含幺交换环, 求证环[tex=2.929x1.357]6PWl/fP3j/y7kKn3SuUmlw==[/tex]中每个理想均为形式[tex=2.643x1.357]bIca31SPWWCVnjLQzUHuxg==[/tex], 其中[tex=0.5x1.0]ycRjqHa76IDpEZtluYQxdQ==[/tex]是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的某个理想.(2) 若[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]为域, 则[tex=2.857x1.357]9mjonrKL5MA/BYFXOHU6Cg==[/tex]是单环.
- 环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]中元[tex=0.5x0.786]WKYr2kz69xrVCyPvbyVG1w==[/tex]叫做幂等元, 如果[tex=2.143x1.214]zODDITGVg33rYRBP98VF/g==[/tex]. 如果[tex=0.5x0.786]WKYr2kz69xrVCyPvbyVG1w==[/tex]又属于环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的中心, 则称[tex=0.5x0.786]WKYr2kz69xrVCyPvbyVG1w==[/tex]为中心幂等元. 设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是含幺环, [tex=0.5x0.786]WKYr2kz69xrVCyPvbyVG1w==[/tex]为[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的中心幂等元. 求证: [tex=1.286x1.0]74n6tKMlTkqGjOgbHLaoMQ==[/tex]和[tex=3.286x1.357]Gtj+ow6IJXfT/5Cqvn1yJw==[/tex]均是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的理想, 并且[tex=8.071x1.571]MmjD0I0GjyEBGOdUmoAh3B6xr+6qlyOK1w97+6f7Z54=[/tex].
- 设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]和[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]均为含幺环, [tex=4.929x1.286]i/qcPsD1vRQLSn0RZoXrsgLjKM36B3W2jm4OmIlwfLk=[/tex]为环的满同态. 则[tex=4.357x1.357]0MeSHITGwH3ynUj9KdJsC+nZLrBHEPG0LGFtYnVMB/0=[/tex].
- 设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是数域[tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]上的[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]阶矩阵，求证:(1) 若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 适合 [tex=2.786x1.429]zLK4b0xfa8l2qud8QMIeoQ==[/tex], 则 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 必可对角化;(2) 若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 适合 [tex=2.714x1.214]+yxb2fEUuHYxLwX2MLViFg==[/tex], 则 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 必可对角化.