证明方程[tex=5.357x1.357]2+zwU9I549RPKGSMxmoL3Q==[/tex]有且只有一个正实根.

2022-06-15

证明方程[tex=5.357x1.357]2+zwU9I549RPKGSMxmoL3Q==[/tex]有且只有一个正实根.

答案：

证明:设[tex=6.714x1.5]NkTZa7lKChkaYJK5W/1+jfj+T79kT531S6p18Lt0cIo=[/tex],则[tex=11.714x1.357]G6X0Jq4D85w923NKgtfW7K51RwSlEqU7mnGgbwozwxg=[/tex]且[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]+2jbJfI35w+LXVFLAncMdA==[/tex]上连续,由零值定理可知, 至少有个[tex=3.357x1.357]BsjbQo5VxYXTRwty7i/6ug==[/tex]使[tex=3.0x1.357]LbNzANZtjyC7VENhFNLL4Q==[/tex],即[tex=3.143x1.357]GaUU+prLnDPZRkTgFIz5aw==[/tex]至少有一个正根. 再证根的唯一性. 假设方程至少有两个正根,即存在[tex=5.071x1.214]qIKGRXtGdnxuQyYtaPwpxQ==[/tex],使[tex=8.214x1.357]Z2riqUgTYMx0/HPi+lkEDEDFQ7zfd5sD0rFKyw8Zl9a60uL+F9LB/e9btS+6mqjw[/tex]又[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.857x1.357]ej80LYweWXSAgxV2FEjFvIPoWDYoOKOtcdqdMNhsnbE=[/tex]上连续,在[tex=2.929x1.357]MOZ7msbP99pJ1y4wvNdVuZXo9nw0zMR1keOjN40gd8k=[/tex]内可导,由罗尔定理知, 存在[tex=4.357x1.357]8RKkFq3VSakwEC4oKbM3pColT0fY3eo72BkSMHLgbGUmTx8n/RgsvhThQyqHX6QU[/tex], 使[tex=3.357x1.429]Xat13OcrnAmVJUgSxqIRyqywko3yg6FKjhaEIkrYz8M=[/tex],而[tex=7.571x1.5]+pK0fkctBSZrMCup5/6FGUJnf/0l5nvD6C8PhWZ8h0s=[/tex],矛盾,故方程不可能有两个正根, 所以方程有且只有一个正实根.

举一反三

内容

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证明方程 [tex=4.929x1.357]IAdsjLfsNRi1FGgYG01u1w==[/tex]在区间[tex=3.0x1.357]IuS+jpCX4WU7+Z7SztoPdg==[/tex]内有且只有一个实根.
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令 [tex=5.286x2.5]w4Zp42THVdKRUWaWh6McXYYT5+hmuP5oUewyYwttvP5YQmoSpB8VAdR1QL77qYOj[/tex] 是实系数三次方程 [tex=6.214x1.429]WdQf/RlC+T6vYuYi+YX4MA==[/tex] 的判别式, 求证:(1) 若 [tex=2.714x1.071]kzJdFf4nPeXKhbtP01JMCg==[/tex], 则方程有 1 个实根和 2 个共轭复根;(2) 若 [tex=2.143x1.0]au1nduhIYgjkxMPZw2ynrQ==[/tex], 则方程有 3 个实根, 其中 2 个根相同;(3) 若 [tex=2.714x1.071]8c95v2LCoentTCU4dmXp6g==[/tex], 则方程有 3 个互不相等的实根.
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证明方程[tex=4.0x1.357]KwzCkHMtrL4nvQ2UULXjvQ==[/tex] 有且仅有三个实根.
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证明方程 [tex=4.929x1.143]J2r51kpR0bwr3LA+cgi9cQ==[/tex]在 [tex=2.214x1.357]ACMDGdYp2wI2zYGOP/Za5f1P2FWKiGWU3JCoSnUjkmU=[/tex] 上只有一个实根.
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证明: 方程 [tex=3.571x1.0]7yi+pV49YRJBfnQZLR4ZtdjnZH1QzH+3fGGeb4VU1Kc=[/tex] 至少有一个小于 1 的正实根.