(1) 证明方程 [tex=11.0x1.286]jbVGaT6RmSX6PzIlMwtnDdGLhwRtR/n6wz/3vH0rT4k=[/tex]有且仅有一个正实根。(2) 证明方程 [tex=11.071x1.286]jbVGaT6RmSX6PzIlMwtnDf3A+bLqmZt64vpb/0LXSpo=[/tex] 当 [tex=2.357x1.286]DGchB59sgtXGIyqZcnhxcQ==[/tex] 时无实根, 当[tex=2.357x1.286]n/43mbxif2rzCnZ7631Rfw==[/tex]时恰有两个正实根。

2022-06-15

(1) 证明方程 [tex=11.0x1.286]jbVGaT6RmSX6PzIlMwtnDdGLhwRtR/n6wz/3vH0rT4k=[/tex]有且仅有一个正实根。(2) 证明方程 [tex=11.071x1.286]jbVGaT6RmSX6PzIlMwtnDf3A+bLqmZt64vpb/0LXSpo=[/tex] 当 [tex=2.357x1.286]DGchB59sgtXGIyqZcnhxcQ==[/tex] 时无实根, 当[tex=2.357x1.286]n/43mbxif2rzCnZ7631Rfw==[/tex]时恰有两个正实根。

答案：

证 （1）设 [tex=12.429x1.286]QqciVe9BOHqPMbjcJ0/dDID3PZkswaVUQ5oP5cupaeeYzOzmLXs9KYPSKsPNIbYM[/tex]，则 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]的定义域为[tex=3.357x1.286]U+f1Q3HlF52kntNzvjvu1pY0SaSCwNNc7bZDyBONdew=[/tex]。[tex=12.643x2.357]nOJBJucVwlQuHq02hM9Tsm3YWI+e2dZdQpeK32ek+aLik9VkzxIFltIPps7xhSU3V+FTneM93OmP5u42SoDAJKzCXfcDdWvzo3Yv4P1k770=[/tex][tex=8.143x2.286]qOgC5saH5bclmMKwMMyKBJwTYeZ78uDNhNyWZElTW7LzT2rmol3uqhg51ToBSWan[/tex]可得知 [tex=2.357x1.286]jgIRiGqlkdCMqO92sJAASg==[/tex]为[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex] 的唯一驻点。当[tex=4.071x1.286]TP6Xwsk2dd2Ql6CH6LqAgA==[/tex]时, [tex=3.929x1.286]2WRk5S3skabY8y+eAZX4bDfAy8q+o3Ywy+ElCXAW34Q=[/tex]，可知 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]单调减少。当 [tex=2.357x1.286]ULnNWgbD2XibMJ08mVuTRg==[/tex] 时, [tex=3.929x1.286]yF7pvVInh0eInoseQrSNooOIScDfazfDCPMtH7DfBOY=[/tex]，可知[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]单调增加。 因此可知 [tex=2.357x1.286]jgIRiGqlkdCMqO92sJAASg==[/tex] 为 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]的极小值点，由于驻点唯一，可知 [tex=2.357x1.286]jgIRiGqlkdCMqO92sJAASg==[/tex]也为[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex] 在 [tex=3.357x1.286]U+f1Q3HlF52kntNzvjvu1pY0SaSCwNNc7bZDyBONdew=[/tex]内的唯一最小值点。最小值[tex=3.643x1.286]m2cJoRkBM/P1viHfQDbJ9g==[/tex]，可知方程在 [tex=3.357x1.286]U+f1Q3HlF52kntNzvjvu1pY0SaSCwNNc7bZDyBONdew=[/tex] 内有且仅有唯一正实根。（2）分析 仿（1），利用极值问题求解。证 仿 (1) 可知[tex=2.357x1.286]jgIRiGqlkdCMqO92sJAASg==[/tex] 为[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]的唯一最小值点, 且最小值[tex=5.357x1.286]O4sbR9NmoIC9bTmm0shlIA==[/tex]。当 [tex=2.357x1.286]DGchB59sgtXGIyqZcnhxcQ==[/tex] 时, 可知[tex=7.143x1.286]k8tLoXpNX9cxLT4ytXcnzw==[/tex], 因此对任意不等于 1 的 [tex=5.143x1.286]ba2WIGJoMoOEeGYpgYegebAudgkWnV4/sCO3W+HfX5U=[/tex]，总有 [tex=6.786x1.286]+f+6vZcSfjTxtev+Z+BEJRstemAZYEYX8dEc4jVYh2s=[/tex]。 可知原方程无实根。当[tex=2.357x1.286]n/43mbxif2rzCnZ7631Rfw==[/tex]时, 可知[tex=7.143x1.286]sMi3HaT7k5lnBk/44VDxrw==[/tex]。由于[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在 [tex=3.357x1.286]U+f1Q3HlF52kntNzvjvu1pY0SaSCwNNc7bZDyBONdew=[/tex]内为连续函数, 且[tex=4.214x1.643]MqOfsQLAB/zeVSdv1WggGNqL8xIJRBwMKYC8RifEVfjToeW4ar8QV7kEYJ2rTv8Y[/tex][tex=14.714x1.643]o7F+KFvN83HUC+nFnL1bgRYM4B8WeQYtkFqvsqGykHfKWLJqXosyzNo+PzQeoB5cJpg3S3Fbg86pWM2/yBWV38Cg98ggSWtFBdy8b6AHnGEBLltq/MMmAnBbHeL65wII[/tex][tex=2.786x1.286]LdZxg8ZkKs/AFcNxTRFrNA==[/tex]，[tex=5.643x1.643]MqOfsQLAB/zeVSdv1WggGMIH2BIQmxHk4cDgthNiv41YcBTAzjl7OH2RJ3kYf7Tp[/tex][tex=14.071x1.643]MqOfsQLAB/zeVSdv1WggGBp3vBzxOALBcCpO8qFP4PeME5Rx2+MNeyvKBc+sVVGDALKIGuuycQrxDUKsqrjG4QMFkcTfdKXQ8MdB4xftvshw26/RZwII+NBF+EvNK3FA[/tex][tex=2.786x1.286]LdZxg8ZkKs/AFcNxTRFrNA==[/tex]，可知原方程有且仅有两个正实根。变式 讨论曲线[tex=5.714x1.286]dCUFBZZis/l6+0h+sNnozUuOjzzBnnfTeGg6F2hyi5c=[/tex]与 [tex=6.0x1.286]LpcPMfii1dmnu+zlsucrR8VbZDbpYcouZFK28r1h08Q=[/tex] 的交点个数。分析 所给几何问题可以转化为上述方程实根问题，利用求极值的方法来求解。两条曲线的交点满足[tex=7.071x3.357]GE56u9QCDTqcLxZ66HADyoZnsPPfnT8YNnlfZIupseCi3mO5iP0Icw/WxizmUM1LcTwtMmVSW7cRTPDsTHXwnIaxC7kGr8yvtKKhPziu9JMT4X24sSKr58WBJZQnMG3L[/tex]上两式相减化为 [tex=9.286x1.286]jbVGaT6RmSX6PzIlMwtnDS03VZfesHmc0n2+BMpQ0rw=[/tex]，转化为上题可解。

举一反三

内容

0
证明方程 [tex=5.357x1.357]9G4YayfWvd3bNEvXQD4zeIW5NkRpoLnDUmhiynEE5E8=[/tex] 当 [tex=3.429x1.071]W2s7IZL0o6Zw/Ab6nwXTYg==[/tex] 时有两个实根; 当 [tex=5.786x1.071]AfZjhHAKQImbS6zcJx87lKZ4kzVv0DbVaW4/8M0PCPM=[/tex] 时没有实根; 当 [tex=2.286x1.071]AdKiR2dJtCCfOuMc5GETcg==[/tex] 时有唯一实根。
1
若[tex=2.286x1.286]mOMdkxPf8ug2R09NODY7dA==[/tex]时，可微函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]有[tex=6.714x1.286]e2rQdJIDX6m4QJxK4bB8yA2e0ZugzW2OtDjTuouKEaU=[/tex]，[tex=3.929x1.286]/mACCuNKnGtl0E0FaWSkbs6MqPHe6lgfnE5MG2rFNjE=[/tex]，[tex=3.857x1.286]tflqrbkA2iU1/2XOAoIkHVWztSeK9WfE4+PAMeRySY4=[/tex]，则方程[tex=3.929x1.286]nOJBJucVwlQuHq02hM9TshFm+YZTv5ximTg1KFYKyjI=[/tex]在[tex=2.071x1.286]ObtC4nfyqFyi8RRxjLkdQA==[/tex]内未知类型：{'options': ['无实根；', '有且仅有一实根；', '有且仅有两实根；', '至少有两实根；'], 'type': 102}
2
证明方程[tex=4.0x1.357]KwzCkHMtrL4nvQ2UULXjvQ==[/tex] 有且仅有三个实根.
3
证明方程[tex=12.571x2.0]QChpsVElDjQXs7gh8d2Tr7/rXGLwXXDVN6HYRWFROy41TjrTIXhtw9qg846K1M74[/tex]恰有两个实根。
4
设方程[tex=5.643x1.357]r1/libd7OSlfzu89S23PgtZT9idtAY89YiA87iP4eQ4=[/tex](1) 当常数 [tex=1.429x1.214]rkgrF+YaaESwSQDjR6KfWg==[/tex] 满足何种关系时,方程有唯一实根?(2) 当常数 [tex=1.429x1.214]rkgrF+YaaESwSQDjR6KfWg==[/tex] 满足何种关系时,方程无实根.