设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是偶数环，证明: 所有整数 [tex=3.643x1.357]TMMPR3S5eZvbaPJRdFNN/g==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的一个理想 [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex], 且问：等式 [tex=2.5x1.357]r4lGr5WTrZLslRA3LhY2tA==[/tex] 对不对?

2022-06-15

设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是偶数环，证明: 所有整数 [tex=3.643x1.357]TMMPR3S5eZvbaPJRdFNN/g==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的一个理想 [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex], 且问：等式 [tex=2.5x1.357]r4lGr5WTrZLslRA3LhY2tA==[/tex] 对不对?

答案：

证明: [tex=3.643x1.214]3p9vSbuXy9b35NRjagiE2VS/OA0VuYtpSHSOdz04cyY=[/tex], 即存在偶数 [tex=1.929x1.0]+MkgvJhrh9DSU9I+bn6v4w==[/tex], 使得 [tex=5.5x1.214]+oZ9zv4JHySHSDXuKKqNSA==[/tex], 有[tex=11.214x1.357]eHNvaWwoBUc8j3D7in5KPrpIpxuqO9PB59aAzZlWAl0=[/tex],[tex=5.071x1.214]aLo6uGGeOKGZc/JI/xPHnJ17emh5GCeE8StcnN0LRj/2Mvf7Hg02ivFetGWegFLj[/tex], 则存在偶数 [tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex], 使得 [tex=2.714x1.0]X/o/4R7/OEH5zS2Ov7KM6A==[/tex], 有[tex=9.143x1.357]C0PXCg2/ph9SRJOCvqo9DiWC5H0eMhoJqUlxA9D+M/o=[/tex][tex=9.143x1.357]y9AKZeP8IR93iNV+unxKs8O52LWH6VOSPyg8lbM+pdI=[/tex]从而证得 [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的一个理想。 其实, [tex=2.429x1.0]MwzuacxB/Vt6dKLEHcB9NA==[/tex] 。因为[tex=2.214x1.071]aLo6uGGeOKGZc/JI/xPHnL7PGYysiDpYAQXWoHTx860=[/tex], 则存在偶数 [tex=1.071x1.0]oHmxACoVjC8Hi7auXiS4IA==[/tex](其中 [tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex] 为整数)，使得[tex=7.571x1.357]dnQLhJBsB7ypao1d5DDB1cWhq1YKs66sQO4GW1Ui4A8=[/tex] 得 [tex=3.0x1.143]NTuI/EMYTW7H+2XB1x0wjpSFQN7lXprXCuI3KQKkpfs=[/tex];反之, [tex=3.429x1.071]rTjrhVKVW1tJNYfG6wHSlC81LcHH9A9pLXMYo+xhvUA=[/tex], 有 [tex=5.214x1.357]qYBsy8vj9FxX5Y1OT69cy6SjPKRKLTA+K8FVI2zyTiQ=[/tex], 得 [tex=3.0x1.143]hehWvKkdtePl56hvWNVerrBQKvZYq2SqfvaRUHyyG+o=[/tex].另一方面，因为 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是一个没有单位元的交换环，则根据生成理想的结构有[tex=12.714x1.357]a0vgvB4MDKoeJY1EoYCgFXEm2OGgMT2Ix0u2KeDNARvJIVdp2LW/ZLmHTRefbNeh/GSsDaMjlw24h+rGRWOrcg==[/tex].由上面的讨论可知: [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 是(4)的真子集.

举一反三

内容

0
设[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]是环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]到环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的同构, 证明: [tex=1.571x1.429]WwcGTNxNgqKGUcObs50zWg==[/tex]是环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]到环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的同构.
1
设 [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 和 [tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex] 是环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想且满足 [tex=8.429x1.357]d0SviAaQvqe5MwGVEWJq4a0s7W5DbmFNl5qcG4Q0BNI=[/tex] 证明: 环 [tex=3.786x1.571]qyHbwyK3mgaAt+V3+n4qCSn7zLVtDKHO6NC2LNTN6gM=[/tex]
2
设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个环，并且[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]对于加法来说作成一个循环群，证明[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个交换环。
3
设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是有限环, 假设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]没有零因子, 证明: [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是除环.
4
设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个只有有限多个元素的交换环，且[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]没有零因子。证明[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个域。