设[tex=0.929x1.0]JkZEjSnuwtkZlFnZMXvQ5Q==[/tex]为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵，且满足[tex=2.929x1.214]vfVZ2jJRqLexUimvCjMPE/6xT+hyy6o+qSw0BucxBec=[/tex]。证明：[tex=0.929x1.0]zkuxy59wnc0FrSuUc1OFF6pw7am5S+IP5AAfiovVsGI=[/tex]的特征值只能是0或1。[br][/br]

2022-05-27

设[tex=0.929x1.0]JkZEjSnuwtkZlFnZMXvQ5Q==[/tex]为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵，且满足[tex=2.929x1.214]vfVZ2jJRqLexUimvCjMPE/6xT+hyy6o+qSw0BucxBec=[/tex]。证明：[tex=0.929x1.0]zkuxy59wnc0FrSuUc1OFF6pw7am5S+IP5AAfiovVsGI=[/tex]的特征值只能是0或1。[br][/br]

答案：

[b]证[/b] 设[tex=0.643x1.0]+D9NhKovEP8INGz+KZnr1A==[/tex]是[tex=0.929x1.0]JkZEjSnuwtkZlFnZMXvQ5Q==[/tex]的任一特征值，对应的特征向量为[tex=4.143x1.357]spsZ+rMIOMiqBxP/ZoH2F6FPifHJKesJVIA2gbXSo0RMbZeMygfBR4vUnvTwrCjTVb4n+ngmANIrjhf7HBIDiQ==[/tex]，则[tex=3.786x1.0]s5ChnUJhIxqFSdXmAN58D5qP2waD0v7O0uH9ZuSzXA4/jCCI7A4ckKJXsLkmkL9MndJIoD4QX6cLQsJU/N3dZbED5xKtY8ucbD3qJ/1unII=[/tex]，在此式两边左乘 [tex=0.929x1.0]JkZEjSnuwtkZlFnZMXvQ5Q==[/tex]，有[tex=7.571x1.214]c5Cf4pRARaBipYntugL/3vEkqjofxEslciNfbWdu57I80cH0y/kU5j5mqLzBXL/vfDGsZAwDBHQTeVdrpTFoGEhyKl1+dc7x58xvZ82qbBRhYLMLpw6wv1itXK7ZR8fcDSb3AAZiAxP11Lfz9ak8d1K20wkqoLCBqe1sflrcxi8=[/tex]又[tex=2.929x1.214]vfVZ2jJRqLexUimvCjMPE/6xT+hyy6o+qSw0BucxBec=[/tex]，上式化为[tex=7.571x1.214]c5Cf4pRARaBipYntugL/3vEkqjofxEslciNfbWdu57I80cH0y/kU5j5mqLzBXL/vfDGsZAwDBHQTeVdrpTFoGEhyKl1+dc7x58xvZ82qbBRhYLMLpw6wv1itXK7ZR8fcDSb3AAZiAxP11Lfz9ak8d1K20wkqoLCBqe1sflrcxi8=[/tex]，所以[tex=5.571x1.571]e0Zl7OChjKdCCKMNNl410015IBllDf5ThK9+jvlQw3750ejYg5aLPtvWXVCplWwHkOcDiLAibklJWL2OnmuJUMIm9I41q9QxzHNtGKKRiik=[/tex][br][/br]而[tex=2.786x1.214]vqR7Yc1EhnpxZJtE/XBj1juz+0sQy4il1JiOlQWzTWo=[/tex]，只有[tex=3.643x1.357]kPIYCxJHq2xTPcE1GpFXRSbEUkG8MlnNh2aBrqPWMmU=[/tex]，即[tex=0.643x1.0]+D9NhKovEP8INGz+KZnr1A==[/tex]只能是0或1。[br][/br]

举一反三

内容

0
如果 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶实对称矩阵[tex=0.929x1.0]zkuxy59wnc0FrSuUc1OFF6pw7am5S+IP5AAfiovVsGI=[/tex]满足[tex=3.571x1.429]c5Cf4pRARaBipYntugL/3kWzFBMtOu9hHfk8QjSjCP9p2vY2mfUTmWQYcFK6ZcYR[/tex]证明[tex=0.929x1.0]zkuxy59wnc0FrSuUc1OFF6pw7am5S+IP5AAfiovVsGI=[/tex]一定是单位矩阵.
1
设[tex=0.929x1.0]9MCaa3NdBrky4bnBPtTtgw==[/tex]是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵，满足[tex=2.929x1.214]aNFjUlZB34NgbGwuIbU/pWY1T7a1KlZ+F1RlJL+3fMY=[/tex]，证明：[tex=8.429x1.357]e+9NsxphPEGGe9GaHfjtr2DtFNm5EGkJg48N1Ps4VuuNbo7vjEqcMbwnq2ECuBje[/tex]。
2
设[tex=0.929x1.0]9MCaa3NdBrky4bnBPtTtgw==[/tex]为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶正交矩阵，证明：(1) 若[tex=3.5x1.357]78E3lw7szGqnGgyVBzPD8A==[/tex]，则[tex=1.286x1.143]Mj6+lbt3rBoas+xQLVX/oA==[/tex]是[tex=0.929x1.0]9MCaa3NdBrky4bnBPtTtgw==[/tex]的一个特征值。(2) 若[tex=2.714x1.357]+0GMIYIHUVwJB3Fv2uVBSA==[/tex]，且[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]为奇数，则[tex=0.5x1.0]oYgVDn+QZqcDCRxqEZwM2A==[/tex]是[tex=0.929x1.0]9MCaa3NdBrky4bnBPtTtgw==[/tex]的一个特征值。
3
设[tex=0.929x1.0]zkuxy59wnc0FrSuUc1OFF6pw7am5S+IP5AAfiovVsGI=[/tex] 为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶可逆矩阵,证明:(1)[tex=7.643x1.643]0idGSV3RW/tbV3escumNdOBN+HUD4iOlYD/Dg1qE7PvBfkfYle1Zz/7DXp+S8Kck2UVYrPaZScDtzkyhg0IfjXaoTWssZcBg08EUfF5pTv8=[/tex](2)[tex=6.429x1.643]0idGSV3RW/tbV3escumNdAgaUKCn8vn8FTueSwlqzL6WT5ebQdPfwlE0x8aUbyu0YSjKhkUimYYFxAXenKmDk7LW5P2D9uUQJDy2/YF/DX5xJN0R7CEykOnOYqu51w0G[/tex].
4
设 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 [tex=0.929x1.0]zkuxy59wnc0FrSuUc1OFF6pw7am5S+IP5AAfiovVsGI=[/tex] 满足 [tex=7.857x1.429]c5Cf4pRARaBipYntugL/3lT+2P1wm6Adh3C4DrnE9zxs+rWtSanIqQObZuSRWOwG9blJ971ltu2szZRAgz9tDGmAFCyPUND2/APoUofpCtg=[/tex] 证明 [tex=0.929x1.0]zkuxy59wnc0FrSuUc1OFF6pw7am5S+IP5AAfiovVsGI=[/tex] 及 [tex=3.429x1.143]O8o/cZDTF8ipMqduQHBWgki+n11gPYz8nHp16jZXhUg7OeviFnwy5FJ9ddmOhPO1[/tex] 均可逆，并求它们的逆.