证明:区间 [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 上导函数没有第一类间断点.

2022-05-26

证明:区间 [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 上导函数没有第一类间断点.

答案：

证 （ 用反证法)设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在区间[tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 上可导,假设 [tex=2.643x1.214]gwuCq3c/2jsJy/jGk4d6xQ==[/tex]是[tex=2.214x1.429]8cd96CjdKQybv+xwHUVQpw==[/tex]的第一类间断点. 不 妨设右极限[tex=9.857x2.214]Wh0BbcsxbdPTUak0FdVk/RDsi72rEMb9GiX9iVVUiaJjEAjiBrMj7YqvlL7ncYFdK6X5wTU5n4Oj94MxcP6BhR6RlOFYJyonECwr/Yyaxg/McE272bq5XQob3YVpwmVC[/tex]由导数的定义可知 [tex=11.429x2.786]ENxIatiC2yqgaopSQCG83rRsC8aVjLZ6Be3ftqoAIbf9ock3c6ORie1rO6iuGcxWwZwUnaDjgfdgy6ziJm1zChMxVaSEonG7LWJdBs4Ky92axHYZNX7frtG3P3eFCvh1z9KqfCSQNaGESggoIqxvgQ==[/tex]另一方面由拉格朗日中值定理，存在[tex=0.5x1.214]Yp8n+BSB2k4l/YvG+KhxfQ==[/tex]介于[tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 与 [tex=0.929x1.0]mQGdf3XTfQx0Qped0rrM9g==[/tex] 之间使得[tex=11.214x1.429]dbVFk3pykM4GKsG7wPatRaG2RTxThXl+FpPYB4eivqMcxK7acAMMQgehTMWFWL04slM0aO/hZwArZKi9lkLfQaGoupKJ2U8CyOh2S7WVrl0=[/tex]于是[tex=17.857x2.786]Wh0BbcsxbdPTUak0FdVk/RDsi72rEMb9GiX9iVVUiaJjJCJDlQNQL0TRy1m7S29rzQa2I1L+V4sieJ6Uz9OmX1OMes5HboTQoo2r07o31TaAH3GOPvUtBqd46plMdZiZRyRZ9khhfAciBczmkx85QoUf+FpdSHz2yZ+fUIG9JPIc5dCCQLNmiv7fonMMIjDuo6TF+exXgwS73yPfnqhImIXEfWkc3BqWPzDGpBeHaeE=[/tex]这两个式子是矛盾的,因此[tex=0.929x1.0]mQGdf3XTfQx0Qped0rrM9g==[/tex]不是 [tex=2.214x1.429]8cd96CjdKQybv+xwHUVQpw==[/tex] 的第一类间断点.

举一反三

内容

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设函数[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex] 和 [tex=0.5x1.0]wLRBXo571ziKptAIyBBTRQ==[/tex]都在区间 [tex=0.5x1.0]ycRjqHa76IDpEZtluYQxdQ==[/tex]上一致连续（1）证明 [tex=1.786x1.214]JW0p1n1bbLVK7ufJY2+wzA==[/tex]在[tex=0.5x1.0]ycRjqHa76IDpEZtluYQxdQ==[/tex] 上一致连续；
1
设函数[tex=3.143x1.357]SvkmdiaSCBne2lfTn9xiFw==[/tex]在区间[tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex]内可导且单调增加,那么对任意[tex=1.714x1.071]0W7MEXtb5YVm1APpIbIt/A==[/tex], 必有[tex=4.071x1.429]yApvS3TPe/+BmYN+KyWzUf9VKa3ZPsUmBjAtOkZd230=[/tex].
2
设函数 [tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]和[tex=0.5x1.0]wLRBXo571ziKptAIyBBTRQ==[/tex]都在区间[tex=0.5x1.0]ycRjqHa76IDpEZtluYQxdQ==[/tex]上一致连续.[br][/br] 若[tex=0.5x1.0]ycRjqHa76IDpEZtluYQxdQ==[/tex]为有限区间,证明[tex=1.714x1.214]CyPft73oyR5fanMxzHmsMQ==[/tex]在[tex=0.5x1.0]ycRjqHa76IDpEZtluYQxdQ==[/tex]上一致连续;
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证明：若[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]为区间[tex=0.5x1.0]ycRjqHa76IDpEZtluYQxdQ==[/tex]上凸函数，[tex=0.5x1.0]wLRBXo571ziKptAIyBBTRQ==[/tex]为[tex=3.643x1.357]4IQ2lsOpOrXAa7v5eSlihVPDzF1WURigProj1Plj6v8=[/tex]上凸的递增函数，则[tex=1.5x1.214]ukKiczN33cVM+fghx+LLdg==[/tex]为[tex=0.5x1.0]ycRjqHa76IDpEZtluYQxdQ==[/tex]上凸函数。
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证明：若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在开区间[tex=2.643x1.286]PGm4xHJaiwTHdGYen/RN9Q==[/tex]单调增加，则[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]的间断点都是第一类间断点。