证明:一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是,它的秩等于 2 和符号差等于 0, 或者秩等于 1 .

2022-05-26

证明:一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是,它的秩等于 2 和符号差等于 0, 或者秩等于 1 .

答案：

证明 必要性. 如果实二次型 [tex=7.214x1.357]CKlOGn/4oc+CIjd/NrEXYPMrKY7YR6bQnYIT6RHXQTu8qoEKb6VulKEPDo2aARf1[/tex]可分解成两个一次齐次多项式的乘积:[tex=24.571x3.071]qeiYnKXLEhyhuGRg8yLtr71u41xGdclPYGE78LGTDAgysbLgJHKAzCcQ/8Ox2HvDjzZnQEAk0nyZqlDFI+gmXHxfRSVg7uiNnvuwgefBOPvufOV1/yjpEfqpD2B0/vU8o79KEwMAq7fJ4ynXr9efuBH7HIR3QIZ2OKgEp8sA13qStgEXDq3t+uCuErMI1SFq5UhTiQbTJRA/IJox7SCRqaDBP3Qp/oFomVwxewUb+etlb1VdYMda3D1KeG93S1MRROgOfsj3hPG6D53yQosN7kmsGGFr+onpuUMj7r+GZ8k=[/tex]有两种可能 :1) [tex=17.357x1.357]Ew8ljGDDVpo6o4AlVy204DlIuHOvc/cWZATXis1LvWq3qs02SAJbQDdaxKH9hFCnAgVaGOQoQK+Pa4dBg3Sw5s7Z/E2265PYMcYpHLWCzNlm0CO7/ywhaaK6cSNu6bs8rmDOxBYGizLUhdw9R/P06Q==[/tex]于是[tex=20.5x1.571]CKlOGn/4oc+CIjd/NrEXYPMrKY7YR6bQnYIT6RHXQTuEmGFLdnW0+mOKsgeHP0f9sfBhJrdVAaod37R7N7Cf+LmDbyM/5vHCr7GUef08tw/BvN5lUQCn1mgXWrWCyelFlxkjuFxd7csZJG6IMNGsbA==[/tex]因为 [tex=5.643x1.0]DkQMvCDF/4vyPYjHN/R9lbB/2LLigJYNE+lKntlZvD0=[/tex]不全为 0, 以[tex=5.643x1.0]DkQMvCDF/4vyPYjHN/R9lbB/2LLigJYNE+lKntlZvD0=[/tex] 为第一行，作一个可逆 矩阵 C线性替换[tex=2.929x1.0]PXsqtgI7q/lZDxaVyz7HMw==[/tex]是可逆的. 并且[tex=7.214x1.357]CKlOGn/4oc+CIjd/NrEXYPMrKY7YR6bQnYIT6RHXQTu8qoEKb6VulKEPDo2aARf1[/tex]经过这个线性替换化为[tex=14.0x1.5]AkjIkUm3A8xTId+eQbup8jVJ5WCY8ZEvFP7eZBuMDs/84VcqCOgufae/lwNxLY3y4xIWXk8hCWMuVKU/qQ8rdNHpJXYTed7P9yw2ZXMNLWM=[/tex]2) [tex=5.929x1.357]TASgeax8JPipKY1zvB3ZBmMEzx7q7j/UR1YZ6ry2qVtNVtHHNbkuqJsnNpZD/zq/[/tex] 与[tex=5.643x1.357]Ew8ljGDDVpo6o4AlVy204DlIuHOvc/cWZATXis1LvWr9ijpFU+5moWQ74trF/pzK[/tex] 线性无关. 于是可以 [tex=13.357x1.357]7+MiO15KYpAm4RMMrH9LVkUS6FKuP5zejp+1GJdFM/v2ioumzK0KBTG0z9a/ZAI0KBQLbJm6BvOqYXw78WaRyf0F7r3VLZriG6ukyFM7d0jPtuMnKuV6lIeRfBMH0EHo3hKkzl2L+xzT2vXbdgWJ5g==[/tex] 为第 1,2 行作一个可逆矩阵 C ,可逆线性替换[tex=2.929x1.0]nJgTkLDEMjll26nzSLOvgw==[/tex]将 [tex=7.214x1.357]CKlOGn/4oc+CIjd/NrEXYPMrKY7YR6bQnYIT6RHXQTu8qoEKb6VulKEPDo2aARf1[/tex] 化为[tex=10.071x1.357]AkjIkUm3A8xTId+eQbup8jVJ5WCY8ZEvFP7eZBuMDs/BROWYlRendYY4vt/a7a4nQl/9ED/xtPGMyLGJ5H5FLg==[/tex]再令[tex=8.0x5.786]GE56u9QCDTqcLxZ66HADyjMYMANBZcmqvl9VSvSe5IRMnO7LxgQZAuFqpSCUZU8j23YHckG3v4Lfsi+sZP5mydf6/yKAvoRpRE0i5ayEsRLK7XVH5RkWW4fgXkvmQsjaleWFJ7OLVEMtB5AJDMCngCk7fEoaEK3U+wIf4oKZLuo3ERC2ZR9gBaVyW9ZAHqvayRtH+4DB4EQ3eASe+Gs6Rg==[/tex]则[tex=10.714x1.5]AkjIkUm3A8xTId+eQbup8jVJ5WCY8ZEvFP7eZBuMDs+tYTR9sWfpbaYDeOYFjsDGgKeBolykmbvtnOyeNH95t6soxIj+bt2HLI+6AnZQBD0=[/tex]所以在这种情况, f$的秩等于 2, 符号差为 0 .2) 如果 [tex=7.214x1.357]CKlOGn/4oc+CIjd/NrEXYPMrKY7YR6bQnYIT6RHXQTu8qoEKb6VulKEPDo2aARf1[/tex] 的秩为 2, 符号差为 0,$则 [tex=7.357x1.357]CKlOGn/4oc+CIjd/NrEXYLW4n5M2XI9hH4cBs2Rw4SKy07DOOMPHipykw2jPFC31XqSsL4vdJnsCOQxYOqIJRA==[/tex]可经适当的可逆线性替换[tex=2.929x1.0]PXsqtgI7q/lZDxaVyz7HMw==[/tex]化为规范形[tex=24.429x4.786]qeiYnKXLEhyhuGRg8yLtr7qGcZTeV2VJr0wVtMF1ZiySg+AtTsp7U881nVpviZG3yOc/5CTXCbH2b8P+tQcVqjJTTzRo5sMfGb+kRoHd/HoyIWHeUSmfb313j/YMIefOK8SBrGsUWcSj3rgjD70R3UG/PhlcPrwaN9SeGbFZ+UVo1zHRgaeOqyRCeCdj8UeX7uVmFIkle+Fi059DEtryFuRb/9EFE7fayBtxSfHNnZCe3LLfydEBBCGyw+Tmf4H6m8iTBmsas4uEQBiSsjEi6iBzgmB6QHpGonIKdjG5V1C5m072XQSn7FfMgCBDbQDIjuzxYkaQJfLIVGrdIzXItJzrFBiwUqmj0VpPGJtoGU4C49NlQApe3MSZDNBCDaoj635cgfsBdtngwhaRJZHmQIM9AxNacV+mLs4z/Cn8ML89USChX3GM8MbKeQxoJEyOoyfGDQ7O3enBDNOkOg6t+ES4ois1w7EpH2zb83iRFHU=[/tex]这两种情形都说明[tex=7.214x1.357]CKlOGn/4oc+CIjd/NrEXYPMrKY7YR6bQnYIT6RHXQTu8qoEKb6VulKEPDo2aARf1[/tex]可以分解成两个实系数一次齐次多项式的乘积.

举一反三

内容

0
证明：[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]元实二次型[tex=3.0x1.214]A3Jq5GaKRudu4m0pc9HYKQ==[/tex]是半正定的充分必要条件为它的正惯性指数等于它的秩.
1
证明：秩等于[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex]的对称矩阵，可以表示成[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex]个秩等于１的对称矩阵之和．
2
证明：秩等于[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex]的对称矩阵可以表成[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex]个秩等于 1 的对称矩阵之和。
3
证明:秩等于 [tex=0.5x0.786]c3XP7Nc5gbHP2NzYIVnjbg==[/tex]的对称矩阵可以表成[tex=0.571x1.0]C5fA+C2Kq7LRoadFKP5fTg==[/tex] 个秩等于 1 的对称矩阵之和.
4
实对称阵`\A`的秩等于`\r`，又它有`\m`个负的特征值，则它的符号差为（） A: `\r-m` B: `\m-r` C: `\r-2m` D: `\m-2r`