几何空间可以看成是以原点[tex=0.786x1.0]YEkxBRWVe8SyiK/VG6WTCQ==[/tex]为起点的所有向量组成的集合[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]。它有加法和数量乘法两种运算，并且满足8条运算法则。几何空间v的一个非空子集[tex=0.714x1.0]UsTt0JMISB2vmq9eVGUHdA==[/tex]如果对于向量的加法和数量乘法都封闭，那么称[tex=0.714x1.0]UsTt0JMISB2vmq9eVGUHdA==[/tex]是[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的一个字空间。一条直线[tex=0.357x1.0]5vVfAZliYwqMw8JaLE+iEA==[/tex]可以看成是以[tex=0.786x1.0]YEkxBRWVe8SyiK/VG6WTCQ==[/tex]为起点，以[tex=0.357x1.0]5vVfAZliYwqMw8JaLE+iEA==[/tex]上的点为终点的所有向量组成的集合。一个平面[tex=0.571x0.786]N02a8LR+X7uadF7bDYMkPA==[/tex]可以看成是以区为起点，以[tex=0.571x0.786]N02a8LR+X7uadF7bDYMkPA==[/tex]上的点为终点的所有向量组成的集合。设[tex=0.714x1.214]9ZugyQ7Jnp637JYvSuP3XA==[/tex]是经过原点[tex=0.786x1.0]YEkxBRWVe8SyiK/VG6WTCQ==[/tex]的一条直线，[tex=0.714x1.214]rH9B3ustX9PRtavAcy8DvQ==[/tex]是不经过原点[tex=0.786x1.0]YEkxBRWVe8SyiK/VG6WTCQ==[/tex]的一条直线，试问：[tex=0.714x1.214]9ZugyQ7Jnp637JYvSuP3XA==[/tex]，[tex=0.714x1.214]rH9B3ustX9PRtavAcy8DvQ==[/tex]是不是几何空间[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的一个子空间.

2022-05-28

几何空间可以看成是以原点[tex=0.786x1.0]YEkxBRWVe8SyiK/VG6WTCQ==[/tex]为起点的所有向量组成的集合[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]。它有加法和数量乘法两种运算，并且满足8条运算法则。几何空间v的一个非空子集[tex=0.714x1.0]UsTt0JMISB2vmq9eVGUHdA==[/tex]如果对于向量的加法和数量乘法都封闭，那么称[tex=0.714x1.0]UsTt0JMISB2vmq9eVGUHdA==[/tex]是[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的一个字空间。一条直线[tex=0.357x1.0]5vVfAZliYwqMw8JaLE+iEA==[/tex]可以看成是以[tex=0.786x1.0]YEkxBRWVe8SyiK/VG6WTCQ==[/tex]为起点，以[tex=0.357x1.0]5vVfAZliYwqMw8JaLE+iEA==[/tex]上的点为终点的所有向量组成的集合。一个平面[tex=0.571x0.786]N02a8LR+X7uadF7bDYMkPA==[/tex]可以看成是以区为起点，以[tex=0.571x0.786]N02a8LR+X7uadF7bDYMkPA==[/tex]上的点为终点的所有向量组成的集合。设[tex=0.714x1.214]9ZugyQ7Jnp637JYvSuP3XA==[/tex]是经过原点[tex=0.786x1.0]YEkxBRWVe8SyiK/VG6WTCQ==[/tex]的一条直线，[tex=0.714x1.214]rH9B3ustX9PRtavAcy8DvQ==[/tex]是不经过原点[tex=0.786x1.0]YEkxBRWVe8SyiK/VG6WTCQ==[/tex]的一条直线，试问：[tex=0.714x1.214]9ZugyQ7Jnp637JYvSuP3XA==[/tex]，[tex=0.714x1.214]rH9B3ustX9PRtavAcy8DvQ==[/tex]是不是几何空间[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的一个子空间.

答案：

解：在[tex=0.714x1.214]9ZugyQ7Jnp637JYvSuP3XA==[/tex]上任取两点[tex=1.929x1.214]KLlRSQVKP0zzXA+8oSpmnw==[/tex]，则[tex=1.429x1.0]+fv1gy5to73e6079V7syyA==[/tex]与[tex=1.571x1.214]GjaeYLrL1VwJnMkKDf+dgw==[/tex]同向或反向.从而向量[tex=3.786x1.214]YYpx9DC3c9pNj5VkcRav/g==[/tex]的终点仍在[tex=0.714x1.214]9ZugyQ7Jnp637JYvSuP3XA==[/tex]上，即[tex=5.643x1.214]2ob/AzxrQUgq5Te2On49svV2oF+r37V2sDRqQENAhFg=[/tex].显然[tex=3.214x1.071]2ssmNSfyGSadEG68PnfknQsgC09fKXsWofdPBKVSut4=[/tex]，有[tex=3.857x1.214]vOgClRH/ozRIGcYfRjd4/A==[/tex].因此[tex=0.714x1.214]9ZugyQ7Jnp637JYvSuP3XA==[/tex]是[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的一个子空间。在[tex=0.714x1.214]rH9B3ustX9PRtavAcy8DvQ==[/tex]上任取一点[tex=1.0x1.0]/4LSvKfNeQWJ+IvWbbbjdA==[/tex]，则[tex=3.643x1.214]LH5vXMCBCHhXEoiXizr1Cw==[/tex]，容易看出[tex=2.5x1.0]HPShhMgq7y3GGfkhnrD3hR/78WHjqYi/bFo5e2wPwZw=[/tex]的终点不在[tex=0.714x1.214]rH9B3ustX9PRtavAcy8DvQ==[/tex]上，因此[tex=4.357x1.214]HPShhMgq7y3GGfkhnrD3hfntH2Q1AsIlSflwypw0OYw=[/tex].从而[tex=0.714x1.214]rH9B3ustX9PRtavAcy8DvQ==[/tex]不是[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的一个子空间。

举一反三

内容

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设[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]是域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上的有限维线性空间，[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]上的一个线性变换，[tex=1.0x1.0]0e+76hgEqXhGRszRQWFSzQ==[/tex]是[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的一个子空间，用[tex=2.643x1.214]KdJTfdOLEBWMXQir5AfhBQ==[/tex]表示[tex=1.0x1.0]0e+76hgEqXhGRszRQWFSzQ==[/tex]在[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]下的原象集，证明：[tex=2.643x1.214]KdJTfdOLEBWMXQir5AfhBQ==[/tex]是[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的一个子空间，且[tex=15.571x1.571]lBXXZYMMrxJ2+/5vAU9EvVvBGnLtY5JG8CbyUBVipe1uKDCQ1/KMuX64J9SLCi3ar2m76lz6zTaMR/0PayL319rvQLU4zhEdMizyHv9JVIUABc0jzkHxvW8wRmhsuQQnu66lpQQHQ5Y6rNUSTKc/IJw3GVC2rz/DOYqBVzfdYTs77YU3Muuc0/toyWs+9rVf2Yiw28jepiPWOuG3qlOl0Q==[/tex]。
1
令[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]是数域[tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]上向量空间[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的一些线性变换所成的集合.[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的一个子空间[tex=1.0x1.0]0e+76hgEqXhGRszRQWFSzQ==[/tex]如果在[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]中每一线性变换之下不变，那么就说[tex=1.0x1.0]0e+76hgEqXhGRszRQWFSzQ==[/tex]是[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]的一个不变子空间.如果[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]在[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]中没有非平凡的不变子空间，则是不可约的，设[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]不可约，而[tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex]是[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的一个线性变换，它与[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]中每一线性变换可交换.证明[tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex]或者是零变换，或者是可逆变换.
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设一电灯可以沿垂直线[tex=1.571x1.0]XXQe6AQ+b2rkoJRmymRDhw==[/tex]移动，[tex=1.571x1.0]eTo7afd57BGPRgChnYu35Q==[/tex]是一条水平线，长度为[tex=0.571x0.786]c59+3vo0/Vn/FvNRhDRu5g==[/tex].问灯距离[tex=0.786x1.0]YEkxBRWVe8SyiK/VG6WTCQ==[/tex]点多高时,[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]点有最大的照度.
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设 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]是几何空间, [tex=0.714x1.0]X6uqj1A7AQmRFBpFsTbZTg==[/tex] 是过原点 [tex=0.786x1.0]5SeCOJOzMwSNbX8MGx2Qsg==[/tex] 的一条直线, 商空间 [tex=1.786x1.357]bUgZe1KlWtBgDMltVRvYuA==[/tex] 由哪些元索组成? 求 [tex=1.786x1.357]bUgZe1KlWtBgDMltVRvYuA==[/tex] 的个基和维数.
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证明：如果线性空间[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的线性变换[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]以[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]中每个非零向量作为它的特征向量，那么[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是数乘变换．