设AX=0与BX=0均为n元齐次线性方程组，秩r（A）=r（B），且方程组AX=0的解均为方程组BX=0的解，证明方程组AX=0与BX=0同解.
设r（A）=r（B）=r，方程组AX=0的基础解系为①：ζ1，ζ2，…，ζn-r，方程组BX=0的基础解系为②：η1，η2，…，ηn-r．构造向量组③：ζ1，ζ2，…，ζn-r，η1，η2，…，ηn-r．由向量组①可由②线性表示，则向量组②和③等价，从而r（③）=n-r，所以ζ1，ζ2，…，ζn-r是向量组③的极大线性无关组，有η1，η2，…，ηn-r可由ζ1，ζ2，…，ζn-r线性表示，即BX=0的任一解都可由ζ1，ζ2，…，ζn-r线性表示，故BX=0的解都是AX=0的解，所以方程组AX=0与BX=0同解．
举一反三
- 设 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 与Bx = 0 同解，证明R(A) = R(B) ．
- 设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0，其中A，B均为m×n矩阵，现有四个命题：①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则r(A)≥r(B)；②若r(A)≥r(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0与Bx=0同解，则r(A)=r(n)；④若r(A)=r(B)，则Ax=0与Bx=0同解。以上命题中正确的有( ) A: ①②。 B: ①③。 C: ②④。 D: ③④。
- 设有齐次线性方程组Ax＝0和Ax＝0，其中A，B均为m×n矩阵，现有4个命题：①若Ax＝0的解均是Ax＝0的解，则r(A)≥r(B)；②若r(A)≥r(B)，则Ax＝0的解均是Bx＝0的解；③若Ax＝0与Bx＝0同解，则r(A)＝r(B)；④若r(A)＝r(B)，则Ax＝0与Bx＝0同解．以上命题正确的是 A: ①②． B: ①③． C: ②④． D: ③④．
- A、B均为m×n矩阵，且齐次线性方程组Ax=0的解均为Bx=0的解，则R(
- 若n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩R(A)=r<n,则方程组Ax=0有非零解.
内容
- 0
测试7.若 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 与Bx = 0 同解，则R(A) = R(B)
- 1
设3阶矩阵A=(α1, α2, α3),B=(β1, β2, β3)。若向量组α1, α2, α3可以由向量组β1, β2, β3线性表示,则( )。 A: Ax=0的解均为Bx=0的解 B: ATx=0的解均为BTx=0的解 C: Bx=0的解均为Ax=0的解 D: BTx=0的解均为ATx=0的解
- 2
设m×n矩阵A的秩r(A)=n-3(n＞3)，α，β，γ是齐次线性方程组Ax=0的三个线性无关的解向量，则方程组Ax=0的基础解系为______ A: α，β，α+β B: β，γ，γ-β C: α-β，β-γ，γ-α D: α，α+β，α+β+γ
- 3
设n元n个方程的线性方程组AX=B，如果，r(A)=n则其相应齐次方程AX=0只有______解。
- 4
设向量组α1，α2，…，αs是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，则向量组β，α+α1，β+α2，…，β+α______ A: 线性相关． B: 线性无关． C: 线性相关性与s有关． D: 以上均不对．