写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:(1) 曲线在点 [tex=2.286x1.357]Vc2pH4ypHndnllKqCpRn1g==[/tex] 处的切线的斜率等于该点的横坐标的平方;(2) 曲线在点 [tex=2.929x1.357]25jAdQ4EVKhlk22U111yAg==[/tex]处的法线与 [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]轴的交点为 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex], 且线段 [tex=1.5x1.214]Yd1omjzy35C4LVET9VQTmw==[/tex]被轴平分;(3) 曲线在点[tex=3.286x1.357]Muwjr4G+q7cJWSQhk4GPHA==[/tex]处的切线与[tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]轴,[tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex] 轴的交点依次为[tex=0.643x1.0]WUJ/JHItsc3Bqx1WYNJcrg==[/tex]与 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex], 线段 [tex=1.5x1.214]Yd1omjzy35C4LVET9VQTmw==[/tex]被点 [tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex] 平分，且曲线通过点( 3,1 ).

2022-05-27

写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:(1) 曲线在点 [tex=2.286x1.357]Vc2pH4ypHndnllKqCpRn1g==[/tex] 处的切线的斜率等于该点的横坐标的平方;(2) 曲线在点 [tex=2.929x1.357]25jAdQ4EVKhlk22U111yAg==[/tex]处的法线与 [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]轴的交点为 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex], 且线段 [tex=1.5x1.214]Yd1omjzy35C4LVET9VQTmw==[/tex]被轴平分;(3) 曲线在点[tex=3.286x1.357]Muwjr4G+q7cJWSQhk4GPHA==[/tex]处的切线与[tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]轴,[tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex] 轴的交点依次为[tex=0.643x1.0]WUJ/JHItsc3Bqx1WYNJcrg==[/tex]与 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex], 线段 [tex=1.5x1.214]Yd1omjzy35C4LVET9VQTmw==[/tex]被点 [tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex] 平分，且曲线通过点( 3,1 ).

答案：

解 (1) 由切线的斜率即为该点的导数[tex=0.786x1.357]aWqhlS7dEw/6SaOkiRrfqw==[/tex], 则对应的微分方程为[tex=2.786x1.429]7ZFhf9VQdjAtMDVHE4TxfC6JocsnbunPv/a0xJR9pmM=[/tex](2) 如图 4-1 所示, 因为线段 [tex=1.5x1.214]Yd1omjzy35C4LVET9VQTmw==[/tex] 被 [tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex]轴平分, 故 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex] 点的坐标为 [tex=4.0x1.357]tCmr6nhPs9cLVJ/pys450w==[/tex] 而法线[tex=1.5x1.214]Yd1omjzy35C4LVET9VQTmw==[/tex]的斜率为[tex=8.071x2.571]jVxV77ibOtRCeECH1WWbfY670SELMhSsjqJ3/ss6IAcAIr/eTlQWLJ2vvLx8OLMJyfYiCBdvIAtRhuTilALrMg==[/tex] 从而有 [tex=4.214x1.357]aT6SYPbRyE5gn2d0EW98X9O7v4wGINjvLexLIe35fEM=[/tex](3) 如图 4-2 所示, 线段[tex=1.5x1.214]Yd1omjzy35C4LVET9VQTmw==[/tex]被点 [tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex] 平分, 故 [tex=1.714x1.214]Se7Z7OxYfA0Y1oKcIdKVGg==[/tex] 的坐标分别为 [tex=7.214x1.357]MeQgoil9zGytZIkblv+y0xoSv7DVMLyfTs6FonPo2Bk=[/tex]则过点 [tex=3.286x1.357]Muwjr4G+q7cJWSQhk4GPHA==[/tex]处的切线斜率为[tex=8.357x2.429]3oYJp01k/fCbdAB/dbaNVKbr6cY/boZyP7dZV3ipP27jj/qy90iJF/9+q2OWLbJe[/tex], 又曲线通过点 [tex=2.286x1.357]Xksb2KhAnUr9ish1QcPp0g==[/tex], 所以有[tex=5.714x3.357]fnpmC2J6JmQBLyo5NmGAz500oH5iel28XNcI8WqR/9iRkR+/fQjcSnEBBV3aODLV42RQrRZV1xg/fzYwFXr1V6crG31JFdfVL1BjYfCw7LbZuyL5DCEMXLBLpPlYEMoF[/tex][img=990x292]1796da3011b196a.png[/img]

举一反三

内容

0
写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程 : 曲线上点 [tex=3.0x1.286]xeRn5SNOQos1mbbKIFL6ow==[/tex] 处的切线与 [tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex] 轴的交点为 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex], 线段 [tex=1.5x1.214]Yd1omjzy35C4LVET9VQTmw==[/tex] 的长度为 2 , 且曲线通过点 [tex=2.143x1.286]OlfosWifRDqCdMiG9ls9wA==[/tex] .
1
求下列曲线的方程:曲线上任意点 [tex=2.929x1.357]25jAdQ4EVKhlk22U111yAg==[/tex] 处到原点的距离等于点 [tex=0.643x1.0]WUJ/JHItsc3Bqx1WYNJcrg==[/tex] 和点 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex] 之间的距离,其中[tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex] 点是曲线上过点 [tex=0.643x1.0]WUJ/JHItsc3Bqx1WYNJcrg==[/tex] 的切线与[tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]轴的交点.
2
曲线上点 [tex=2.786x1.357]25jAdQ4EVKhlk22U111yAg==[/tex] 处的法线与 [tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex] 轴的交点为 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex], 且线段 [tex=1.5x1.214]Yd1omjzy35C4LVET9VQTmw==[/tex] 被 [tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex] 轴平分. 试写出由这些条件确定的曲线所满足的微分方程.
3
写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:(1) 曲线在点[tex=2.214x1.286]S6NgNKNoH80dgKR3db0eeg==[/tex]处的切线的斜率等于该点横坐标的平方;(2) 曲线上点[tex=3.0x1.286]xeRn5SNOQos1mbbKIFL6ow==[/tex]处的法线与[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex] 轴的交点为 [tex=0.786x1.286]gvyykdQdNBydRqWi9I4iuA==[/tex],且线段[tex=1.571x1.286]DxkaqxrqEWa0dZ+z/jyakw==[/tex]被[tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex] 轴平分。
4
设曲线 [tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex]上任一点 [tex=2.929x1.357]25jAdQ4EVKhlk22U111yAg==[/tex] 满足 [tex=4.357x1.214]LNDW8j7QgtFNvrPd5Ot3Cg==[/tex], 其中点 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 为曲线在点 [tex=1.0x1.0]h30MGzl4YMzpZdtHWcz0bA==[/tex]处的切线与 [tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex] 轴的交点，点 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex] 为点 [tex=0.643x1.0]WUJ/JHItsc3Bqx1WYNJcrg==[/tex] 在 [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 轴上的投影点. 已知 [tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex] 过点 [tex=2.286x1.357]/a/vJiIC3Rr22SylXe49cg==[/tex]. 求曲线 [tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex] 的方程.