设[tex=1.5x1.214]VxtvWlgGBBypyenN8OD8Wg==[/tex]是环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想, 假设[tex=3.357x1.143]GNaN58NEBLI/RNACEeIr9Q==[/tex]且[tex=4.429x1.357]BhYJIYUqbV7rh27v3GsZSprXnk5rSNzS1PUnUJNSjYw=[/tex](此时称[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是[tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex]和[tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex]的内直和 ),证明: [tex=4.5x1.571]KfJOO3z2/XNC6y050WO8wtXxdA91le8WQn0kCaAia08=[/tex]

2022-05-27

设[tex=1.5x1.214]VxtvWlgGBBypyenN8OD8Wg==[/tex]是环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想, 假设[tex=3.357x1.143]GNaN58NEBLI/RNACEeIr9Q==[/tex]且[tex=4.429x1.357]BhYJIYUqbV7rh27v3GsZSprXnk5rSNzS1PUnUJNSjYw=[/tex](此时称[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是[tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex]和[tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex]的内直和 ),证明: [tex=4.5x1.571]KfJOO3z2/XNC6y050WO8wtXxdA91le8WQn0kCaAia08=[/tex]

答案：

证明 对于任意的[tex=1.643x1.071]qlqKpauHcxRsBh/8peZpWA==[/tex]和[tex=1.929x1.071]yWNRpWRFgEqcl9eJHLMdXw==[/tex]令[tex=7.857x1.357]cnmyssg015c1HE5KD8i8o9Bi5VUJ+MoJNemS3HBn2QeahPnFTtZUxx5Z5RUQWnA0[/tex]根据第一章[tex=1.0x1.214]O7VgOijWI5o4z2lcC8EiIw==[/tex] 习题第 8 题及其解答可知,[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]是加群[tex=2.286x1.143]VvATzvFdvFneufhG8OQfuw==[/tex]到加群[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的同构. 其次,对于任意的 [tex=3.357x1.214]ZVSAo21+NCZ95EO3EQAZOrOEOjUZVxsZ0i9wYAtTLE0=[/tex]和[tex=3.286x1.214]Zo9mxYdGTOBN4dZlYHPO6mj1arnMk4EpWEY7KpRcifY=[/tex], 由于[tex=1.5x1.214]VxtvWlgGBBypyenN8OD8Wg==[/tex]是环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想且[tex=4.429x1.357]BhYJIYUqbV7rh27v3GsZSprXnk5rSNzS1PUnUJNSjYw=[/tex], 我们有[tex=6.857x1.214]T1qvR8EFrylhG2NzDMWm7yWewWWipTldijppcGdXReUrHcbDZkEOCcbpXk/0lBl1[/tex]从而, [tex=6.143x1.214]4dL5zj+oZFAfSn+ZhaAbxNjDtFIqC4l7J5U5vGMeKB4=[/tex]因此[tex=22.214x3.214]rZM5/OPAdr7aX+kNl9iwpIA9M1gWzA9Kxlobg82Thj6+PpPlWTZ2EU+FQgWMjZD3c9dAyFd3E26rLxuDOy2rVh8UpyXvHXhKI9S9Y/yiRy6fOkxDx/GOpG/Y6fm0liwaSLKiGknsolW72Cgp0RKbMw0wjwNe4vHh8jLjcVWthtKNQzBJa/+WE8BisoAv68PHAhlPEmO0gynmLebSHsUlnBOp7qm3s2f+BfNWAvhw4ZkTy3mDihAeMJDwxqU8JeUljk8uD7KmMqbV1wZ94ORuof2tHQT3tDvR6P54+Yu0wu4va3+fO2nnvdw/1N1spZ2Wj9CVcYWtGf1i1WLT505+twG7Ol+8WXvGFHF690b4dhLJAgY3pAD+h/Pj4u70lOtVwEkZWtLURBuxhM3OkpwLJ2ZX5jaTVJ4kBu/lF+dZcHo=[/tex]从而,[tex=17.143x1.357]O8TxuAyywwbLevCwX1cOrl8uwtXZAyLT47IPwMPR+8smZzLb31VNJq2FXcWUmfxLs52o3zv5uJu90PTVtl9DL0v4M0craiI6pZO4T79ytYsSUNXTCYHGzKX2iLQC62iEyVyuR8+jbV64fhnVhkykmTNsxcBUmy2lTtt0p06varb5MO6nTwwMXLmX73Jc+kwP6IFsE0OY85swYNSQ31XBdQ==[/tex]. 所以在环的同构 意义下, 有[tex=4.429x1.571]KfJOO3z2/XNC6y050WO8woR11PkFyDgnFQp4te7wY1Q=[/tex]

举一反三

内容

0
试明定理[tex=1.571x1.0]NRAZSenLCh2cmqvlDAuLxg==[/tex]注定理[tex=1.286x1.0]kKCBHQIleWbqLYAAphuK9A==[/tex]如下:设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个环, [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想.(1)若[tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想, 则[tex=8.857x1.571]q5W7VvnThRiSAS3Jbiihlk4nznYZovknm27R+wDzbUgy/KB6cLlcqo+RB7WV6+Pt[/tex](2)若[tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想,且 [tex=2.357x1.143]hmtyi/PG7j28PFV8+4H81GFH4NHJ9jPZRtfqR3pyO4Q=[/tex], 则 [tex=8.929x1.357]KPfO9KqaoHTPeQJw4n6XBnR8/jev71ZZLhkMVIqcifOI40+aHe2jmxFdBV/vadrB[/tex]
1
设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 为环, [tex=1.5x1.214]VxtvWlgGBBypyenN8OD8Wg==[/tex] 是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的两个理想. 令[p=align:center][tex=11.5x1.357]8CM8TB92oV/hI4hxvCjpVOI3C17io1Q4g2yEZDWMOr94qwSdpSa3twYxbMsnM69a51YRJPm5UjHeMkuicETmlg==[/tex]证明: [tex=2.429x1.357]fvTZI9dBC5syJ0twORMkxA==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想.
2
设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元的交换环, [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的真理想. 证明: 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的每个不在 [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 中的元素都可逆, 则 [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的唯一的极大理想.
3
设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是有单位元的环, [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的一个真理想, 证明:存在[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的极大理想 [tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex]使 [tex=2.786x1.143]/AskU05rJFzE+CohvFDboA==[/tex].
4
设 [tex=1.5x1.214]VxtvWlgGBBypyenN8OD8Wg==[/tex] 为[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想. 令[p=align:center][tex=14.5x3.357]Fywzls8bGqX6NaD2hfyPk4EbiheLVWIsFvQCQA2wxqEEAR/636AC8eubExDIZo7CkLpFZ2/s7kATy9+bWiz4ZvnBlNtzLsv3M214TAfIVlpZqq3olRgWWa+177IvjF25k72HirP1scZ3BXSZNolqBw==[/tex]证明:[tex=1.0x1.0]7BEI04bD0McbbWcs3Bo0YA==[/tex] 为 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想, 且[tex=4.714x1.143]g4MySsluF45pMBauCZLaJ3bGZZAK1u8F7cXFO38p1Vk=[/tex]