设[tex=1.5x1.214]VxtvWlgGBBypyenN8OD8Wg==[/tex]是环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想, 假设[tex=3.357x1.143]GNaN58NEBLI/RNACEeIr9Q==[/tex]且[tex=4.429x1.357]BhYJIYUqbV7rh27v3GsZSprXnk5rSNzS1PUnUJNSjYw=[/tex](此时称[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是[tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex]和[tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex]的内直和 ),证明: [tex=4.5x1.571]KfJOO3z2/XNC6y050WO8wtXxdA91le8WQn0kCaAia08=[/tex]
举一反三
- 设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 为交换环, [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的非零理想, [tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex] 是 [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 的素理想. 证明: [tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想.
- 设[tex=1.5x1.214]VxtvWlgGBBypyenN8OD8Wg==[/tex]是环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想且[tex=3.357x1.143]GNaN58NEBLI/RNACEeIr9Q==[/tex], 试明: [tex=10.071x1.571]vDSAoD+ABejWrlks9e1LEI6Q0t/87QkEqODtUp4l3CswbaEYyU/HMpZqaucXFNdp[/tex]
- 设 [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 和 [tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex] 是环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想且满足 [tex=8.429x1.357]d0SviAaQvqe5MwGVEWJq4a0s7W5DbmFNl5qcG4Q0BNI=[/tex] 证明: 环 [tex=3.786x1.571]qyHbwyK3mgaAt+V3+n4qCSn7zLVtDKHO6NC2LNTN6gM=[/tex]
- 证明命题 3. 7.注 命题 3. 7 如下:设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个环,[tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的一个理想.(1)若[tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的一个理想且[tex=2.357x1.143]dFK0pllFt/zWEC+crtFExA==[/tex], 则 [tex=1.5x1.357]DQDKvU4BxJ/UC33T+mY9sw==[/tex] 是[tex=1.714x1.357]ceJTjldMkJXWCHatl5T1Jg==[/tex]的理想;(2)若[tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex]是[tex=1.714x1.357]sU/Eol/VzF4h4tpIDEJ9Ag==[/tex]的一个理想, 则存在 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想[tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex], 使[tex=2.357x1.143]dFK0pllFt/zWEC+crtFExA==[/tex]且[tex=3.286x1.357]lODhOYSHJTAF/Tk9pX1cLA==[/tex]
- 设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是一个交换环. [tex=1.5x1.214]VxtvWlgGBBypyenN8OD8Wg==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的两个理想, 且 [tex=2.643x1.143]jZczHAWaUxFVXussUtQMGYnrAWRbjiAANXBvGlu6xz0=[/tex] 证明: 如果 [tex=1.5x1.357]DQDKvU4BxJ/UC33T+mY9sw==[/tex]是 [tex=1.714x1.357]ceJTjldMkJXWCHatl5T1Jg==[/tex] 的素理想, 则 [tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的素理想.