设 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 是有单位元环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 中的一个可逆元，证明[tex=1.357x1.071]8yCwfz9DDtEtAlvOBd+Hzg==[/tex] 也是可逆元， 且 [tex=6.071x1.5]oiuwd+L46nf4K9wnrs8yJpYIcX6RhmujF1kSw3uHa1c=[/tex]。
举一反三
- 设[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]和[tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex]是含幺环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中的两个可逆元,证明:[tex=1.357x1.071]fA225ivWb74oma1CR5Piow==[/tex]也是可逆元, 且 [tex=6.357x1.5]oiuwd+L46nf4K9wnrs8yJhxCg2GxCkxMeZ3YRQhQONQ=[/tex]
- 设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个有单位元的环. 如果[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中元素[tex=1.286x1.214]rkgrF+YaaESwSQDjR6KfWg==[/tex]有[tex=2.286x1.0]rZ0c/DqUwOwC6KLNVAW7uQ==[/tex]，则称 [tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex]是[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]的一个右逆元，而称[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]是[tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex]的一个左逆元. 证明卡普兰斯基(L Kaplansky) 定理：若[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中元素[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]有多于一个的右逆元，则[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]必有无限多个右逆元.
- 设[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]和[tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex]是含幺环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中的两个可逆元,证明:[br][/br][tex=1.0x1.0]gYJhypvKme6HbnVYnWCsSw==[/tex]$a也是可逆元, 且[tex=6.571x1.5]txJ7J5UMd4f8cDkFvH0gEvJm62B6SrhNMW3V0Q7S5M4=[/tex]
- 设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个有单位元（用[tex=0.5x1.0]oYgVDn+QZqcDCRxqEZwM2A==[/tex]表示）的环，[tex=3.143x1.214]jaZMaos6zVCOKtLo+H9F+w==[/tex]证明：如果 [tex=2.286x1.143]6XLDFpbGC81VG9rXBUGstg==[/tex]在[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中有逆元，则[tex=2.286x1.143]oXBfnhsYpkpRkDchPfN9Jg==[/tex]在[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中也有逆元.
- 设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是一个环, [tex=2.286x1.071]BX5Hq24pv20xx1ImfWhlnQ==[/tex] 如果存在 [tex=2.5x1.214]MUBOqhgSidNbIiPGutca8TrElVNegsU2eDrOYBfzzXU=[/tex] 使 [tex=2.571x1.214]vISNIN/rFHRC9rdtmDdjoQ==[/tex] 则称 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的一个幂零元(nilpotent element).(1) 试求 [tex=1.429x1.214]jBC5UhniB1q3BXBWtSyFOc2/wXu1a7+esOF5m9BzKww=[/tex] 的所有幂零元;(2) 证明: 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元[tex=0.5x0.786]rCTQ93hYjIOF3vc8FasIqg==[/tex] 的交换环, [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的一个幕零元, 则 [tex=1.857x1.071]TckY1UXsKGQ9dh30ORCSzg==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的一个可逆元;(3) 证明: 交换环的幂零元全体构成一个子环.