设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]是3阶方阵，将[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的第1列与第2列交换得[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]，再把[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]的第2列加到第3列得[tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]，证明：满足[tex=3.571x1.286]smq8nBov8N20KOfFXb8jGA==[/tex]的可逆矩阵[tex=7.429x3.5]Ag30ceVI6RySe1mN6l8ov4uqsSxDoCoqXEC5KL9xyPbsNpGnL01HfBlMHlEnUUvK+41Gvm2WNVtvUU/YK0Msrlifk/c+0AzxP6kIu+grdWfBVhCNnghcD1Vvfy1arNSW[/tex]．

2022-05-28

设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]是3阶方阵，将[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的第1列与第2列交换得[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]，再把[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]的第2列加到第3列得[tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]，证明：满足[tex=3.571x1.286]smq8nBov8N20KOfFXb8jGA==[/tex]的可逆矩阵[tex=7.429x3.5]Ag30ceVI6RySe1mN6l8ov4uqsSxDoCoqXEC5KL9xyPbsNpGnL01HfBlMHlEnUUvK+41Gvm2WNVtvUU/YK0Msrlifk/c+0AzxP6kIu+grdWfBVhCNnghcD1Vvfy1arNSW[/tex]．

答案：

【分析】：对矩阵施行一次初等列变换，相当于用同类的初等矩阵右乘矩阵[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]．利用此性质可知题中的矩阵[tex=0.786x1.286]gvyykdQdNBydRqWi9I4iuA==[/tex]即为两个初等矩阵的乘积．证：依题意有[tex=3.929x1.286]nVMB9Kr6tk+obKqlpMgyi5nOmteeDCh5IBJ1MLB0WqY=[/tex]，[tex=4.0x1.286]8qiDtF7DWqFGlXruk/CE9NxGfnctDdlycWljAuyrUE4=[/tex]，其中[tex=7.714x3.5]YadWL/Pk2/PFmFhOjknD9QzkzXaaAOqSnRuzjyZelGjwvQCsS2vh4EN5lEwNZpp3k/lP1jgh3XXDcl51QDci1vm9EI45OPjGNDpqskk/70oUEHpCxKpbHbuoyOoNvev/[/tex]，[tex=7.714x3.5]3nF7R3uaOmjVG5hvEGu+7Cb4NYSFHu/MOa8Ur4XE+S8fNDAuXZIdxGB3AjewOfdwwEIp1/wZFBjD5hqv0xdKa2S1rDrP1C0r/6O9a1DT+RY91hZQJY1FBxfefFWON5Pt[/tex]，所以[tex=8.286x1.286]XGlaAKp961ZehWRfOt/lO72NzH8xbJYv7b8tWxuBYRXeEKW3qUWT2N1xlr9qGjC+[/tex]，于是[tex=4.357x1.286]yaQ0eEeubNZ+jhNAwwGW9cmxhLDWxGUh88IyOxEEnPQ=[/tex]，故[tex=13.286x3.5]Ag30ceVI6RySe1mN6l8ov4uqsSxDoCoqXEC5KL9xyPaYwgsYJGrhQ0kC6cY0sDV2F4NQSM/2NGI4XbAl9ohjX4ozVeEUzF4WQrDVFr9+pQMwZdgFHACTLTDOn6nbhA9bIeur3cMWjz9S52hbxMsyLHLUronpOHDMk7fPj47Gw3CATN1DLdZYhb77Jmq/AuZ27k89XeOqCGQOi4Y/zuEDIQ==[/tex][tex=6.643x3.5]AL5+WEZvblQyz3RRDmLK0PbbRvfFig1W4H6wavBaRg8O+ssAHpnwzb1hlJNW5HBnhtHlsA/pne0U+IsYpzhDC9BaQ5DtpUJqQdatd3i47GXAaG3eXgL9vIkSVrDDs4Wg[/tex]．

举一反三

内容

0
设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]分别为r，t阶方阵，令[tex=6.714x2.786]5ZuEj1KRR/p9rD5ciF5Q2vvXSfjg0VXPHhmFWiPFS2/SA8KHwtoSVZP0YAs7p5AENY2TCY5M+lipH1NzujgJLw==[/tex].（1）证明：[tex=0.786x1.286]gvyykdQdNBydRqWi9I4iuA==[/tex]可逆[tex=1.0x1.286]rOrw2E3Z1BdSSAw41TowZ4iHlO4qaDBsGJ7nVzEmCWM=[/tex][tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]均可逆；（2）当[tex=0.786x1.286]gvyykdQdNBydRqWi9I4iuA==[/tex]可逆时，求出[tex=1.786x1.286]mvDokazZ7eCp/B72qeYNZA==[/tex]
1
设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]， [tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]都是[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶实对称矩阵，证明 [tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]与 [tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]相似的充要条件是 [tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]与 [tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]有相同的特征值。
2
设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]为[tex=2.5x1.286]JbOf5mKpwDyH1XGtn/Ougw==[/tex]矩阵，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]为[tex=2.286x1.286]KLs6xDeklS6Oy7PobAAxMw==[/tex]矩阵，且[tex=3.571x1.286]e+srJojTm8Kf62t4In3fUA==[/tex] 。求证:(1) [tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]的各列向量是齐次线性方程组[tex=3.429x1.286]FF5bUci0HbqKyNGyHKVoog==[/tex]的解;(2) 若[tex=4.0x1.286]XMYSIhn6XA1i4ml8UEVdKw==[/tex]，则[tex=2.857x1.286]aSKcbPomEkiO8fn5twsTPw==[/tex];(3) 若[tex=2.857x1.286]fuglV0muC7HrRCBC+UM7iw==[/tex]，则 [tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的各列向量线性相关。
3
设 3 阶矩阵[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的特征值互不相同，若行列式[tex=3.071x1.286]FYCnFYQQa8C3I+O2sfSSGA==[/tex], 则[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的秩为 A: 0 B: 1 C: 2 D: 3
4
已知[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]与[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]及[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]与[tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]都可交换，证明[tex=3.214x1.286]C8kZk0nkZ1b2icrGeDS7aA==[/tex]是同阶矩阵，且[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]与[tex=1.571x1.286]hOo99m7YJCAnVf2cQGX8dQ==[/tex]可交换。