设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]是[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶矩阵，[tex=2.786x1.286]N/eE1tAJJwPeRTpYlqOl2g==[/tex]，证明：存在一个[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶非零矩阵[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]，使[tex=3.571x1.286]e+srJojTm8Kf62t4In3fUA==[/tex]的充分必要条件是[tex=3.071x1.286]rues2mK4IiepKYWuwXSq+Q==[/tex]．
举一反三
- 设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]是[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶方阵。证明 : 存在一个[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶非零矩阵[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex], 使[tex=3.571x1.286]e+srJojTm8Kf62t4In3fUA==[/tex]的充要条件是[tex=3.071x1.286]FYCnFYQQa8C3I+O2sfSSGA==[/tex]。
- 设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]是[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶正定矩阵，证明存在[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶正定矩阵[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]，使得[tex=3.214x1.286]2JS6BJRrTSeJjobiUCqEXA==[/tex]．
- 证明:(1) 设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex] 为矩阵，则[tex=4.286x1.286]oheUYwhZ0URiNEpsN7L7kA==[/tex]有意义的充分必要条件是[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex] 为同阶矩阵。(2) 对任意 [tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶矩阵[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex] ， 都有[tex=6.286x1.286]f9BmKY0KXh740nvID3nNj0fFKPsoX9X3zKZONqYCrR0=[/tex]， 其中[tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex]为单位矩阵。
- 设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]是[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶正定矩阵，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]是[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶实对称矩阵，证明：存在[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶可逆矩阵[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]，使得[tex=5.357x1.286]K6zxAGBIogIIiD5GFofAx/pmcJwoRykyV8iSjArS8Ys=[/tex]，[tex=4.929x1.286]UzUiBuTu85eC8sat7ufimOL6HcqebYAko5n7tYXBrwA=[/tex]，其中[tex=0.714x1.286]6GaLCkpufqH4y+Zpjb+RIQ==[/tex]为对角矩阵．
- 设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]为[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶对称矩阵，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]为[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]反对称矩阵，证明：(1)[tex=4.286x1.286]oheUYwhZ0URiNEpsN7L7kA==[/tex]为对称矩阵；(2)[tex=4.286x1.286]eisGgj8YxHUmoBnJQGz1JQ==[/tex]为反对称矩阵．