设[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是[tex=1.857x1.357]bawv/j+LZ1l+o4ciN/29dA==[/tex]上的单调增加函数，且它的值域是整个区间[tex=4.357x1.357]+74dUdz21TTIpzOV3mq9pA==[/tex]，试证[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是[tex=1.857x1.357]bawv/j+LZ1l+o4ciN/29dA==[/tex]上的连续函数。

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2022-07-24

设[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是[tex=1.857x1.357]bawv/j+LZ1l+o4ciN/29dA==[/tex]上的单调增加函数，且它的值域是整个区间[tex=4.357x1.357]+74dUdz21TTIpzOV3mq9pA==[/tex]，试证[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是[tex=1.857x1.357]bawv/j+LZ1l+o4ciN/29dA==[/tex]上的连续函数。

答案：

反证法，设存在[tex=2.929x1.357]RlpHfusYXFViH7nndfIOlw==[/tex]，使[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]在[tex=0.5x0.786]EL0hSqs6jZBGdsmH7TMShQ==[/tex]点间断，则[tex=10.357x1.357]yCbnOo9BjUCVdB5qu60KZCt84gJo9Pghcl35mgB5RusNJtdlQV6/O45QyxnHSJcq[/tex]且至少有一个是严格不等号，例如[tex=6.071x1.357]2yzwnElH/4JYtE32QE9H4g==[/tex]， 由[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]的单调上升性，知开区间[tex=5.786x1.357]u/R3p6hgiq7Yk+Ixpttv+w==[/tex]的原象是空集，这与题设矛盾，故[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]在[tex=1.857x1.357]bawv/j+LZ1l+o4ciN/29dA==[/tex]上连续。

举一反三

内容

0
设[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]在[tex=1.857x1.357]bawv/j+LZ1l+o4ciN/29dA==[/tex]上[tex=1.571x1.357]GtLNfoGLJZiK1mceQTIzpA==[/tex]可积，且处处有[tex=3.714x1.357]n3f7jwsT3zAd0hiq20ir9w==[/tex]，试证明[tex=8.286x2.857]LRrXvfh63hVL+k+pVfVbWjZWfERLtaNFxQKW5TU2MpojTALjR71TlHCh9Bj5HnQD[/tex]
1
证明: 若[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]在[tex=1.857x1.357]bawv/j+LZ1l+o4ciN/29dA==[/tex]上可积, [tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]在[tex=1.857x1.357]bawv/j+LZ1l+o4ciN/29dA==[/tex]上连续，且除有限个点外有[tex=5.0x1.429]vcoFvsi7S06HgXTsHmMDCSb7DcJ5ck9Hi0PzKAJUVzo=[/tex], 则有[br][/br][tex=10.071x2.857]YQy8o6xXV2vuInKBm3FsSlJYD2khGdpjb7CEWe0giR4=[/tex]
2
证明[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]为[tex=1.857x1.357]bawv/j+LZ1l+o4ciN/29dA==[/tex]上连续函数的充分必要条件是对任意实数[tex=0.5x0.786]EL0hSqs6jZBGdsmH7TMShQ==[/tex], 集[tex=6.143x1.357]CpKxGYq0bqZsw3HJXpFWZ1H5QJraiIjf+p3HFjeuvK4=[/tex]和[tex=6.714x1.357]CpKxGYq0bqZsw3HJXpFWZ9It7fIkG1Fhfd/gA4+TsOo=[/tex]常为闭集.
3
乘法算子[tex=6.5x1.357]iefbVugzaR3ugdAw6e6C1thVrdGqrFsXifjdgvRoMA8=[/tex]在空间[tex=2.571x1.357]Wzu8Xzxpq2PXX82qyYB1LA==[/tex]上能是全连续算子吗?这里[tex=1.714x1.357]Kj/iM02OJH/2spujZk92ww==[/tex]是给定的于[tex=1.857x1.357]bawv/j+LZ1l+o4ciN/29dA==[/tex]上连续的函数。
4
设[tex=6.071x1.357]4LgfSyTm0h7bq9xqSv7G4LNyI9eXQ7t6nf458Xe37zjS4V81lBtGaGjd6xQTx6KK[/tex]在[tex=1.857x1.357]bawv/j+LZ1l+o4ciN/29dA==[/tex]上连续，在[tex=2.214x1.357]mpyYBdP7k8056w1o+qOOxw==[/tex]内可导，证明：存在[tex=3.286x1.357]EV4pc+LBkNBOhd4NZUA5NQ==[/tex]，使得[tex=16.357x3.357]Uyz5s0rmQIddjb5Jc2T/YRSnI70CPiP9kSoxG/LsBEQsOFwZaIYio/xDEuz4rvImZ3GEM+gn+IQRe1Rq9HOufnlmnLgQiRTLLWlyd2m5PpNiisTat4EvIByMSXzh8HVQPts8b6b0urtNgk9oqPzz4TXb9tDW2RcYR0g9UvBgcN8wfdw1empP7P1zbq+Jg68Psxp+i3UzfEuBVHPM7mUbhwNryRi3jXo3t34CuHeOXN8=[/tex]