设[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]是[tex=1.857x1.357]bawv/j+LZ1l+o4ciN/29dA==[/tex]上的绝对连续函数，[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]定义在[tex=4.643x1.357]3+NDETjbtRnj+mD3xG2zviOhqLdK3LTtKMvqcRw22dQ=[/tex]上，且满足利普希茨(Lipschitz)条件，试证明[tex=3.143x1.357]fUn7YZ664ewPCotsQ//Alg==[/tex]是[tex=1.857x1.357]bawv/j+LZ1l+o4ciN/29dA==[/tex]上的绝对连续函数。

2022-06-29

设[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]是[tex=1.857x1.357]bawv/j+LZ1l+o4ciN/29dA==[/tex]上的绝对连续函数，[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]定义在[tex=4.643x1.357]3+NDETjbtRnj+mD3xG2zviOhqLdK3LTtKMvqcRw22dQ=[/tex]上，且满足利普希茨(Lipschitz)条件，试证明[tex=3.143x1.357]fUn7YZ664ewPCotsQ//Alg==[/tex]是[tex=1.857x1.357]bawv/j+LZ1l+o4ciN/29dA==[/tex]上的绝对连续函数。

答案：

由题设条件，对任何[tex=6.929x1.429]iEv0QvhF40gmWhf0rHc+urjPG3zxQt/AFS6/ZAvWKkXGDKoTDIdjVcnlkx10iNv6[/tex]，[tex=10.643x1.429]nadCuAnsKZWrBw7IGsorzucy95PxgGDUU/kcEAHw1BN5c/F/QmLDuP2Y5CfpkH36UFdl8GfVuV8UM4hqp30Z5cz211QsVbbAQmSSNpYxW44=[/tex]。因为[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]在[tex=1.857x1.357]bawv/j+LZ1l+o4ciN/29dA==[/tex]上绝对连续，则[tex=6.143x1.214]ghJXJtBd3IXQSpXoMpDSwVHkUsT0YlZLtOxA51h3tudTxwD6GfjIVPgujPyeN0AS[/tex]，使对[tex=1.857x1.357]bawv/j+LZ1l+o4ciN/29dA==[/tex]中任何有限个互不相交的开区间[tex=3.5x1.357]A3sXid07WfSMPLpcxjoYGANrQYj3Sw51sQyBL1r0QLcBdNAifjJcWG39GymtwFeI[/tex]， 当[tex=6.857x2.071]vFXzY91H8Mb9fKHPaaJbCfOBTf1MK9S1d0nF7hmEU5luaQVzep+SoO0U+K/xvevE[/tex]时，有[tex=10.214x2.286]tS9G5k8yHAjNDBn3Sf6ddGd5GMQ6ElkEQlTPfhpkU6yxo6r5LSK1qDEf89H9ZJS4ZhxrrLcPriEa44uJUqzQWpGmTyXSCX19V2d8Ys7OBPFw0n9TrJaYa7NBHzQeo9Ag[/tex]，则[tex=22.857x2.071]tS9G5k8yHAjNDBn3Sf6ddF4xiM/M54tX9aMgS2TDaW9emZ6cbHnYYdb6v1h3oCNMtDUaNW1cx/Xtj/DWys737oyssaMtdGGpFLVNeQscrP/quiwpuPaE/ih/m2FeYCq5WmdFWEsCz9opZO0Lx4oYQzKDo2OuYsZuCjbiJer8t0XCHsiWDTo+R4Nv5PgcRR0ESYoLG/43WjBuiHJ3XSolp7zsj1woah4oPjh+a0++Kdc+q5IVZ7jyvzykqatBmrwP[/tex]，[tex=3.143x1.357]fUn7YZ664ewPCotsQ//Alg==[/tex]是[tex=1.857x1.357]bawv/j+LZ1l+o4ciN/29dA==[/tex]上的绝对连续函数。

举一反三

内容

0
设[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]在[tex=1.857x1.357]bawv/j+LZ1l+o4ciN/29dA==[/tex]上[tex=1.571x1.357]GtLNfoGLJZiK1mceQTIzpA==[/tex]可积，且处处有[tex=3.714x1.357]n3f7jwsT3zAd0hiq20ir9w==[/tex]，试证明[tex=8.286x2.857]LRrXvfh63hVL+k+pVfVbWjZWfERLtaNFxQKW5TU2MpojTALjR71TlHCh9Bj5HnQD[/tex]
1
证明: 若[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]在[tex=1.857x1.357]bawv/j+LZ1l+o4ciN/29dA==[/tex]上可积, [tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]在[tex=1.857x1.357]bawv/j+LZ1l+o4ciN/29dA==[/tex]上连续，且除有限个点外有[tex=5.0x1.429]vcoFvsi7S06HgXTsHmMDCSb7DcJ5ck9Hi0PzKAJUVzo=[/tex], 则有[br][/br][tex=10.071x2.857]YQy8o6xXV2vuInKBm3FsSlJYD2khGdpjb7CEWe0giR4=[/tex]
2
证明[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]为[tex=1.857x1.357]bawv/j+LZ1l+o4ciN/29dA==[/tex]上连续函数的充分必要条件是对任意实数[tex=0.5x0.786]EL0hSqs6jZBGdsmH7TMShQ==[/tex], 集[tex=6.143x1.357]CpKxGYq0bqZsw3HJXpFWZ1H5QJraiIjf+p3HFjeuvK4=[/tex]和[tex=6.714x1.357]CpKxGYq0bqZsw3HJXpFWZ9It7fIkG1Fhfd/gA4+TsOo=[/tex]常为闭集.
3
设[tex=6.071x1.357]4LgfSyTm0h7bq9xqSv7G4LNyI9eXQ7t6nf458Xe37zjS4V81lBtGaGjd6xQTx6KK[/tex]在[tex=1.857x1.357]bawv/j+LZ1l+o4ciN/29dA==[/tex]上连续，在[tex=2.214x1.357]mpyYBdP7k8056w1o+qOOxw==[/tex]内可导，证明：存在[tex=3.286x1.357]EV4pc+LBkNBOhd4NZUA5NQ==[/tex]，使得[tex=16.357x3.357]Uyz5s0rmQIddjb5Jc2T/YRSnI70CPiP9kSoxG/LsBEQsOFwZaIYio/xDEuz4rvImZ3GEM+gn+IQRe1Rq9HOufnlmnLgQiRTLLWlyd2m5PpNiisTat4EvIByMSXzh8HVQPts8b6b0urtNgk9oqPzz4TXb9tDW2RcYR0g9UvBgcN8wfdw1empP7P1zbq+Jg68Psxp+i3UzfEuBVHPM7mUbhwNryRi3jXo3t34CuHeOXN8=[/tex]
4
乘法算子[tex=6.5x1.357]iefbVugzaR3ugdAw6e6C1thVrdGqrFsXifjdgvRoMA8=[/tex]在空间[tex=2.571x1.357]Wzu8Xzxpq2PXX82qyYB1LA==[/tex]上能是全连续算子吗?这里[tex=1.714x1.357]Kj/iM02OJH/2spujZk92ww==[/tex]是给定的于[tex=1.857x1.357]bawv/j+LZ1l+o4ciN/29dA==[/tex]上连续的函数。