有一长为 [tex=0.357x1.0]Le5Jr6QhXJv1Yp4NjrbGVA==[/tex] 的均匀而柔软的细线, 上端[tex=2.643x1.357]AVAE+AL0qWAPC4WuhTdc2Q==[/tex]固定, 在自身重力的作用下, 此弦处于铅直的平衡位置. 试导出此弦相对于坚直线的微小横振动方程.

2022-07-23

有一长为 [tex=0.357x1.0]Le5Jr6QhXJv1Yp4NjrbGVA==[/tex] 的均匀而柔软的细线, 上端[tex=2.643x1.357]AVAE+AL0qWAPC4WuhTdc2Q==[/tex]固定, 在自身重力的作用下, 此弦处于铅直的平衡位置. 试导出此弦相对于坚直线的微小横振动方程.

答案：

解 将弦振动模型一般化. 弦密度是位置的函数记为 [tex=1.929x1.357]RmEXfrhhQmBJyrsu4X8uZA==[/tex], 弦的张力亦是位置的函数记为 [tex=2.0x1.357]cYOntOGyQd4sl65091fG5g==[/tex], 在[tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex]的正方向、单位长度上的外力密度记为 [tex=3.143x1.357]oqDYeKuizfuKRL3LlPwLZB+y1dswGxUymp+lt20x1yg=[/tex][br][/br]    我们利用动量守恒来导出 [tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex] 的变化规律 (参见图 1.1). 任取一小段弦 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex], 小时段 [tex=2.429x1.357]IAqDnMZKM+9nZgV7VxLmHYoAh1N3+8n8lGtXdcKCT4I=[/tex], 在 [tex=5.643x1.357]VcAy3uQ8e4Dgltmx6NlCJ6MtV9lZWZBb/GUCoBLVsNNEt3ezuSuOEI/942LeKc0N[/tex] 上研究弦的变化情况. 这时沿水平方向的动量守恒律可以写成:[img=548x57]178f85d369c4f54.png[/img][br][/br]即[br][/br][tex=34.286x3.071]epijttRlY7+hEiCrQqeYGYlvFI2I6wzFCIJbE3py3/6QY4em+UmMfqo5PwQDvSKkw9CykT+jcZ648nFjrNQtZsCb490rfFS9NcM6goCEDmYGpTNZFn1SoaMN1zNQFPA7B/0KsbObrZ3zcgDA9/FlK/o+pZ8tJH+apwoFmMnSbXXEc3SKVK2tHi6eZIbWBTvOSvbVW+U9fNBdGj1EQ/fb94ZblSsLDnXPV5ZIJYjfOCGr6AfrecbSN6jSzVQR3I1p7HplAuxgqHKzVATGdZrw3Eq4WCYDZRGmPt2/wxkdeozhiBzs3F2ibXACuZsuEc67[/tex][br][/br]利用[br][/br][tex=26.143x3.357]s6fM1LKSKpP0BAUvILwpnxcnyg+KSF4Jq6WgCSUG96r710NkoAziXr5Gsmvv086XNuLuZBDXYjPzyny4HMV2iFi4nukBPuDNL3YmSQ4xXjDiip2DzRMF0LPmZtXDYVwlrrg/hUn2qQFkBq9VMg6NEtOLRKg9H9ivpvbdmlOGqg9hc75wlMH0wOGcYUtXuSuURSgnNfOnbzklD4MOpXKHmpXRHjUaBip61k3ahrdSSUBdxbzAqhn1GOGQqpR+1ZRN[/tex][br][/br]可得[br][/br][tex=31.214x9.357]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[/tex][br][/br]根据 Fubini 交换积分次序定理以及 [tex=3.714x1.214]e4BLPLrNhmGLtvfPIUkgPOCSkiQHm5mN+f+j7mVx9N4=[/tex]的任意性，可得[br][/br]\rho(x) u_{t t}=\left(T(x) u_{x}\right)_{x}+f_{0}(x, t) .      (1.2)[br][/br]     在本题中, 弦密度[tex=3.214x1.357]QeXl5kVy9aeNPigXOJhyCw==[/tex] 是常数, 张力[tex=6.143x1.357]/5qGjmp8+TVbNElTPR3IE5GUjCmo7cZ1Img+JOnd+xM=[/tex], 外力密度 [tex=4.571x1.357]K4ZcoQVTw+vNA1xvdgMXOee3OaoziMoDLkfmc24YW4U=[/tex]代入 (1.2) 式得弦的振动方程:[p=align:center][tex=7.357x1.357]QWCyR1+zj+pSfBkdl6OK+A/4CxZBlhkEjTxf1awc0aQM76B7QBBzMo32kWW4BmXk[/tex]

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举一反三

内容

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设直线[tex=0.357x1.0]Le5Jr6QhXJv1Yp4NjrbGVA==[/tex]经过点[tex=3.643x1.357]D3EcWH0pI78PtNfPBxDirw==[/tex]，则当[tex=3.643x1.357]9qBADjg+LLPtSC1AIFyxKQ==[/tex]与直线[tex=0.357x1.0]Le5Jr6QhXJv1Yp4NjrbGVA==[/tex]的距离最远时，直线[tex=0.357x1.0]Le5Jr6QhXJv1Yp4NjrbGVA==[/tex]的方程为[input=type:blank,size:4][/input]。
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长为[tex=0.357x1.0]Le5Jr6QhXJv1Yp4NjrbGVA==[/tex]、两端固定的均匀弦在某介质中作自由微小振动，设这介质的阻力与速度成正比（单位长度的阻力为[tex=2.786x1.214]CT5uJ4aI6gFTR63zjj1QdNcnBMfAxFzsC1SVYIJTTE0=[/tex], [tex=0.643x0.786]W9TCskxkagdDgWMvasdFzg==[/tex]是正的小常数），弦的初始位移和初始速度分别为[tex=2.071x1.357]eAvaTAXWWX5VwHAZCgurVQ==[/tex]和[tex=2.0x1.357]oY9H+horQavhEg7hGhdwWA==[/tex]，求解访的振动情况.
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在弦的横振动问题中，若弦受到一与速度成正比 (比例系数为[tex=1.429x1.071]XLuTN1EE1rjQxsll4MHVCA==[/tex])的阻尼，试导出弦的有阻尼振动方程.又若除了阻尼力之外，弦还受到与弦的位移成正比 (比例系数为[tex=1.357x1.143]UL5g4tdnvvaLw5ET4kbzEA==[/tex])的回复力，则此时弦的振动满足的方程是什么?
3
一长为[tex=0.357x1.0]Le5Jr6QhXJv1Yp4NjrbGVA==[/tex] 、横截面积为[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]的均匀弹性细杆，已知[tex=1.857x1.0]bOlCq/PHWhsSVMaVf7Obdg==[/tex]的一端固定，在[tex=1.714x1.0]OFSQaAQTidbnVE7HphlqPw==[/tex]的一端在杆轴方向上受拉力[tex=0.857x1.0]WBOxEEx6dPfNM3eGriw9WQ==[/tex]作用而平衡，在[tex=1.643x1.0]MVeOYouc7e3FvU1m5bCV6w==[/tex]时撤去外力，并忽略重力的作用，试列出杆的纵振动所满足的方程、边界条件和初始条件.
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一均匀杆原长是[tex=0.357x1.0]Le5Jr6QhXJv1Yp4NjrbGVA==[/tex]，一端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长[tex=0.5x0.786]rCTQ93hYjIOF3vc8FasIqg==[/tex]而静止，突然放手任其振动，试建立振动方程和定解条件.