证法 1（1）因为[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为[tex=4.0x1.5]ANSz3q+AZDg7Ig8Nm1pf1qUA+3IwegTjm6PKmB8ObfXECVkcEkWDnMlMryWAWy3g[/tex]中的有界开集，所以[tex=0.786x1.143]wPwG2U8kBJ7pwP99XAF/rg==[/tex]为[tex=4.0x1.5]o0EugHY/eN16Hz+QLo+BIbfUkr8BynfW0bYD+Kc3qBFza01JXSWdBmEKX1SDBBgK[/tex]中的有界闭集，因而为紧致集，[tex=0.786x1.143]wPwG2U8kBJ7pwP99XAF/rg==[/tex]即为[tex=4.0x1.5]o0EugHY/eN16Hz+QLo+BIbfUkr8BynfW0bYD+Kc3qBFza01JXSWdBmEKX1SDBBgK[/tex]的完备子度量空间，根据延拓定理7.4.6(2)，[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]可连续地延拓到[tex=0.786x1.143]wPwG2U8kBJ7pwP99XAF/rg==[/tex]上。（2）因为[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]延拓到[tex=0.786x1.143]wPwG2U8kBJ7pwP99XAF/rg==[/tex]上后成为紧致集[tex=0.786x1.143]wPwG2U8kBJ7pwP99XAF/rg==[/tex]上的连续函数，根据最值定理 7.4.3，有[tex=18.786x2.786]zw79rM6K/IIIv0j4FZoBKRPZI9SSwtstwS1hZIr6bDeO0vgW02k6uqhAHO79N6Q51j3RwJs6OnpGzB6Qvk630glElHoMIIa9YCKLF5GVCQ4A+JvxoG3iIJD2bygGicOAFgnwiZCYl+wiOt4ZPkotmg==[/tex]，[tex=3.143x1.214]GYxRxKt+neqWDqmvl+jhMytgW2FPC2AllsF4G+yPt90=[/tex]当然[tex=4.714x1.357]ss7sHbjFF6kEcgNpa44S05leZ7Y9bq/SEXhLUt8QOis=[/tex]，[tex=2.5x1.286]0vyEyRpJLAPoJ1E/QrU4ig==[/tex]故[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]上有界。 证法2 （1）同证法1。（2）(反证)假设[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在有界开集[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]上无上界，则[tex=3.571x1.214]AXveBo2BR0IBikg33Bcxc8/4MgshUmQDN0m4mX6AMlU=[/tex]，[tex=1.429x0.929]0SdvmEjSmpNVcwWRZJt8IQ==[/tex][tex=4.429x1.357]zqvtWRZT27nOJuHcb1iclnud60YXdPxMmhIP2DBUfVE=[/tex]，且[tex=9.357x1.357]LjIPM5+ttyAotY9JggXYlKuxnEVwQJTdUsIWO13gEo3+M7vR5J8Ks5yEZOzXu0WHKrPc6RdkCvS/4abr9E9Oow==[/tex]，[tex=2.0x1.357]nwEs/OOi5LHBAFpJVDp4wiNzwG75muaVGAB9HSyUr9k=[/tex]为有界点列，其必有收敛子列收敛于[tex=2.929x1.357]ofY5MjV+tSjdmGklNZx7M4DPBjUXVn1AUe2cN4F93Z8=[/tex]，不失一般性可假设该子列即为[tex=2.0x1.357]CjCvAldACdhCbOUJYZLY+5CJdJJIVRKSSn19Y20QqDw=[/tex]。因为[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]上一致连续，故对[tex=2.357x1.071]juKXHvHUZxWWHdVs6Q9+6g==[/tex]，必[tex=2.286x1.071]VaATl+ui/tWLtUZWXNeloSQGmN20z3qwF42J7oGQsNs=[/tex]，当[tex=0.857x1.143]22UTor2iW14oU27eYNocOg==[/tex]，[tex=3.0x1.214]5N4fE/+TRNVJnPQE2QZxnoEtm8kYvag0cn832Dbmr+o=[/tex][tex=6.0x1.429]snYDi4ghPSfYIdB74g+s+9eZJNQ5WKgRnawQWLQv7ueomn/5K5w4Ubq0O0JGpljnvlWekRvokzvJsNT/sTjhlg==[/tex]时，有[tex=9.857x1.429]9zGT+pzWr0r7WqC/1jIIKmHUbqNFmaJWe3orUp1DJzYSEgJsI35nCGo9i6UL2gUeNcMkA5Ggp45HJ7zRsAAVA7WpHWBmAPwqqBRTueG08QLxD2Fnc/O5GKQ9uN6kDGb9[/tex]，当[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]充分大时，[tex=7.071x1.357]snYDi4ghPSfYIdB74g+s+/JTIHNePQTjVE573NLFbCkNLzLLoOafJbhr7+dJha/5/ehgQRRw8b9HgbYlE7DoUA==[/tex]，但[tex=10.929x1.357]WXRJ3jN3npRWa7CN3IZAlgSYnBGI0bD71pczrbyFDtfdezWYtNSF2E8QjrSuhDqwK+k1ee5X05XiVafxuxAPJP5TNnB5gLh3gImu8uba8PI=[/tex]，矛盾，所以[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]上必有上界，同理可证，[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]必有下界，因而[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]上有界。