设 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 在有界开集 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]上一致连续。证明：(1) 可将 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 连续延拓到 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 的边界；(2) [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 在 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 上有界。

2022-06-01

设 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 在有界开集 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]上一致连续。证明：(1) 可将 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 连续延拓到 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 的边界；(2) [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 在 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 上有界。

答案：

证 ：(1) [tex=0.5x1.214]81wDP6XYP34fq+iLgLa6Sg==[/tex] 能连续延拓到 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 的边界, 是指 : 对 [tex=7.5x1.357]YrHiK/bB0ovdq/3si9Fx0ybfs1Zczg4xSask+QzSbvBqpWWrjT4fZ/QZ3oLVb8VRzUsCCZ5FMoiuYOy9Zb3R3A==[/tex] 若极限 [tex=6.071x2.286]uKymUhsYD7vn12Wo23k6CkbRst0E5n2EXsDVvubqs03ud1WhrwTrioYpiwTlTpGhpzLPmIZy1NO+gIRnAKntKQ==[/tex](A 为有限数) 存在, 则定义 [tex=4.143x1.357]8MSBUFA2AFwGRMyoZoN3isILTzsBHDMYGoRht1YChDI=[/tex]， 就可以使 [tex=2.786x1.357]g1Wo3ALRzTk0js5m9GO2sA==[/tex] 在 [tex=1.0x1.214]QSpWrsvLbsISAe8gQyDfNg==[/tex]处连续。首先, 由 [tex=0.5x1.214]81wDP6XYP34fq+iLgLa6Sg==[/tex] 在有界开集 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 上一致连续可知, 对 [tex=5.357x1.214]wnnVw3AI26tAAle5k2adK9/TDT1h1BG5se6BIPP1FaigHRdFgUyN3ucvyoOa8VgaFkWCbsjkeDf7TZzOXd/j2Q==[/tex] 当 [tex=17.143x1.357]rWTS3Ownr4ac7XrCPYj4YmgOlL2/ghLM4RVvywa7gPi0aZspHFjK7/X+KVCZe/+TbVIrvjkc8DHDlvDf7IU0lzBwMsJ7/DeWujdCzc5wzP71ObZ7CUNep0+U+tUpj67Edjtr3qndYofR64Mzv2U0cG35OMXAvHG8TivA48RmKYA=[/tex] 时, 有[tex=10.0x1.357]Al8VmrBYpzqhHTR0aKknjCXylDs6qsassZVjusuhOoI9FOvPNu/nM8LJdYBBskCABx1ss9V2etU59eWDJFHm5Avwk+wYHzhtpIncB3Gj4r8=[/tex]现对 [tex=7.5x1.357]YrHiK/bB0ovdq/3si9Fx0ybfs1Zczg4xSask+QzSbvBqpWWrjT4fZ/QZ3oLVb8VRzUsCCZ5FMoiuYOy9Zb3R3A==[/tex] 由于开集 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 中每一点均为内点, 而界点 [tex=3.5x1.214]zvdPKGSmYH35QNSQ8mBri3yCu6xk8EyHI9MXJOHAwGs=[/tex] 的任何邻域内既有 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 中的点也有不属于 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 中的点,所以 [tex=1.0x1.214]QSpWrsvLbsISAe8gQyDfNg==[/tex] 为 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 的聚点。在 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 中任取满足条件 [tex=8.714x1.714]jpsDQEyICCdzE5Jqwp0oHNV2tj0YDWUduzBNg+rU8Hcf9FSu/ADk4J7jMC0sAQNT3ObV+F9qPGyuLlhlifX3+w==[/tex] 的点列 [tex=2.071x1.357]aeQEYip5G9MeKXTS717tRPOH5c082kdYQRSvBXomavc=[/tex]， 下面证明点列 [tex=3.5x1.357]cRKPCf8Ll94usgaKlauokRunsgB47kT43c47yUsRCmMjRme3vbY7fW5DR2uim/2e[/tex] 收敛。由 [tex=4.857x1.714]OqU0SQaVHd2x+OGLCy0gvVQw0kNjraWigRM+uwR5seRot5I9RqvTh2Z6E13A/qIz[/tex] 可知,对上面的[tex=6.071x1.214]uxp4XQeuAg14jGU29kGUIM4ZcQctL52V8iNi1C9v+qHL+Kqe5KRUfMEkoh2fkNoz[/tex]， 当 [tex=5.143x1.214]b/BMA3Nab9GW2WFahmWvXA==[/tex] 时,有[tex=15.143x1.357]EJqa7EwBXfNzgFAURBelf6WEXKeUIj3EqfFzAhICc+otHe9YVBsnppsxc/oIm4synNGw0LLUpGK+xBjypEd+PE+K2Hb85ioyuJ7fNB4UhdL0yh+4dbYdut+sk/EefkZ0[/tex]，从而[tex=11.714x1.357]+HrsF4BhjjwPBJlYLj8h5CZRagkmswSn7dXsQAMA+pRB4AECI1OAGKdSkAS0WGKXdW749IsYWdDNZZw1ioiQFJO5ulwF/h+Z26tUzBxAI0c=[/tex]再由式(1),有[tex=8.786x1.357]miWCkUpwHfqaQVptgteAUayXwYI85Q5FghQzAjqZ++NaW2rnImPxeyLM77Upg5xjzMLJrAXokavf9H19ZiVzT8Yu4Q/SIewiNf2LFruxcb0=[/tex].所以点列 [tex=3.5x1.357]cRKPCf8Ll94usgaKlauokRunsgB47kT43c47yUsRCmMjRme3vbY7fW5DR2uim/2e[/tex] 为柯西点列,故 [tex=3.5x1.357]cRKPCf8Ll94usgaKlauokRunsgB47kT43c47yUsRCmMjRme3vbY7fW5DR2uim/2e[/tex] 收敛。 极 限 [tex=3.929x2.5]36DIyJGLW5wmwY0jAs/W9fTLzgVIiURpsEEjEMhk08rIsi7JbDaIFmm1BpHixoU33QazfT7/eLPeLeaMbLp3w+eoRmualm1oA+/+kyqNT1w=[/tex] 存在。 故 [tex=0.5x1.214]81wDP6XYP34fq+iLgLa6Sg==[/tex] 可以连续延拓到 [tex=3.5x1.214]zvdPKGSmYH35QNSQ8mBri3yCu6xk8EyHI9MXJOHAwGs=[/tex],即 [tex=0.5x1.214]81wDP6XYP34fq+iLgLa6Sg==[/tex] 可连续延拓到 [tex=1.286x1.0]C5kC2TUoFjHYmNQmBhR81g==[/tex].(2) 设[tex=4.571x1.0]5A5IMRnRcw62fgYcY7m+6BDNFLTmk/9bRu/TdgqJRrA=[/tex],则 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]为有界闭集, 由 (1) 的证明知 [tex=0.5x1.214]81wDP6XYP34fq+iLgLa6Sg==[/tex] 为有界闭集 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上的 连续函数,因而 [tex=0.5x1.214]81wDP6XYP34fq+iLgLa6Sg==[/tex] 在 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上有界,从而 [tex=0.5x1.214]81wDP6XYP34fq+iLgLa6Sg==[/tex] 在 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 上有界。

举一反三

内容

0
设[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]对任意[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]，[tex=2.5x1.286]EPSGJZaCuwY5xHx7jbphAw==[/tex]适合方程 [tex=8.286x1.357]NrfAfdVJZxj47IYGp0SatnPBpQm8CbV+z0k8TH8YZfo=[/tex]证明：（1）若[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在一点[tex=0.929x1.0]mQGdf3XTfQx0Qped0rrM9g==[/tex] 处连续，则[tex=5.0x1.357]0vg1WFsquVdtGeGJnyVAbQ==[/tex]；（2）若[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]上单调，也有[tex=5.0x1.357]0vg1WFsquVdtGeGJnyVAbQ==[/tex]；
1
证明：若[tex=3.357x1.143]E9Jtz0PjQpdGMcr9IFHQhXy1cbNtCnfj0tqXPhUAv0M=[/tex] 是有界闭集, [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 是 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 上的连续函数, 则 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 上一至连续。
2
设 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 以 [tex=1.071x1.0]tieuzjBYrMcmxP3HXZSPGQ==[/tex] 为周期且具有二阶连续的导函数，证明 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 的傅里叶级数在 [tex=4.786x1.357]WafKDm5071vVz9IYJgBhj8LbdrnQF2M50OcMtr5E7Yg=[/tex] 上一致收敛于 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex].
3
对于给定的[tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex]和[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex], 判断[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 是否为从[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]到[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]的函数[tex=4.143x1.214]Tho5m+2VLMUARZGtb7om2Y9rIKcv7m4ZXqvck1xH+40=[/tex]如果是,说明[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]是否为单射的、满射的、双射的.[br][/br][tex=8.0x1.357]G0SfCY5ZFVEJAhJCopRznVmqfZuvcz5OYbH6w40t4B4=[/tex]
4
对于给定的[tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex]和[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex], 判断[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 是否为从[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]到[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]的函数[tex=4.143x1.214]Tho5m+2VLMUARZGtb7om2Y9rIKcv7m4ZXqvck1xH+40=[/tex]如果是,说明[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]是否为单射的、满射的、双射的.[br][/br][tex=9.357x2.357]Nv5olfQYXFN4YYLaYd0zU8J3ZTtO7mvrkDS1wUxK98BWdazX+pKgZCWCS7z5gegZ[/tex]