设 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是群。证明: [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是交换群的充分必要条件是映射[p=align:center][tex=5.643x1.286]vYnB+TvcXPCyhuHqL1f9eiqPnWI+P41J9NXNd2auPeI=[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的同构映射。

2022-07-23

设 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是群。证明: [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是交换群的充分必要条件是映射[p=align:center][tex=5.643x1.286]vYnB+TvcXPCyhuHqL1f9eiqPnWI+P41J9NXNd2auPeI=[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的同构映射。

答案：

 证明   必要性 设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 为交换群。(1) 设 [tex=3.071x1.214]q++ZzA6ITktx8C41indfZw==[/tex] 如果 [tex=4.929x1.357]vblcNi3DygYxcuitbYWVHNQw6svznln1vHm0hGCz7Ig=[/tex] 即[tex=4.071x1.429]Mw/fl/E4UfvahKZ/1IVd02bBlvYLs/6hp2PP8NnSuiI=[/tex] 则[tex=2.143x1.0]D84Zjw/Op7jqx/fcPK+zQw==[/tex] 所以 [tex=0.643x1.214]4ssBDc1re7hhNB3dpzYmRg==[/tex] 为单映射;(2) 对任意的[tex=2.357x1.214]u2lVcDsim/zlZpBEangpAw==[/tex] 有 [tex=3.0x1.286]CbaDoc7jT2qlqObazf+OeQ==[/tex] 且 [tex=9.5x1.714]tu3BLQ6QLWdd5Kk5tm7wSvNCTvU26WCasaeWHfnfmAy4CFm/L8aZal0q6vARRtWhnMs/dLMFgc7WvPvs8bSJ2Q==[/tex] 所以 [tex=0.643x1.214]4ssBDc1re7hhNB3dpzYmRg==[/tex]为满映射;(3) 对任意的 [tex=3.071x1.214]q++ZzA6ITktx8C41indfZw==[/tex] 有[p=align:center][tex=17.5x2.071]Hx1JO8296Cm9BhuitBbFjePUwoiG4rj79W2Jr1qLaPFKzndaLQ29Gy5hX36FozO40z1Npdx8RWbQERg3YLWiA0ONUE4hDo1bayR9KNdv6S4=[/tex]所以 [tex=0.643x1.214]4ssBDc1re7hhNB3dpzYmRg==[/tex] 为同构映射。充分性 如果 [tex=0.643x1.214]4ssBDc1re7hhNB3dpzYmRg==[/tex] 为同构映射, 则对任意的[tex=3.071x1.214]q++ZzA6ITktx8C41indfZw==[/tex] 有[p=align:center][tex=17.857x1.571]4m+ACgrxxRhhh8bd95PMAuSW3qrvW4YEztdRsjdQIDQrQ2qV7560lzdXidLvJ9jX15Gpq3Px9LJBbEw2+XKvQ3rXgRzUxaAm8NIy8V87B0s=[/tex]。由于 [tex=0.643x1.214]4ssBDc1re7hhNB3dpzYmRg==[/tex] 为单映射，所以得 [tex=3.214x1.0]QEagbl+nQv2JZiLaRSrttQ==[/tex] 因此 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 为交换群。

举一反三

内容

0
证明：群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]仅有平凡子群的充分必要条件是[tex=3.071x1.357]lhn0XHWkDQjpgStNKz1WNg==[/tex] 或 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是素数阶循环群.
1
设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是一个群. 假设对于任意的[tex=2.0x1.071]vWZfluFOSO3YQwS1PayuCw==[/tex]都有[tex=2.214x1.214]oha7wOCx8qXgzV+bBd/Ktw==[/tex], 证明:[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是交换群.
2
设 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 是群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]到群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的同构, 证明:对于任意的[tex=7.5x1.357]ZQMpGr73vEhlsV541O4Yx72mt1UE/SKg3FK8loX/zUI=[/tex] 举例说明, 若[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]是群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]到群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的同态, 则[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]的阶与[tex=1.857x1.357]+oWS0hM0HogLU9xbRXppWQ==[/tex]的阶不一定相同.
3
设 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是群。证明: 如果对任意的[tex=2.357x1.214]u2lVcDsim/zlZpBEangpAw==[/tex] 都有 [tex=2.214x1.214]jX6m6TY3vI6QWjhU0nwLtg==[/tex]，则 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是一个交换群。
4
设[tex=0.857x1.0]+NBI8Pm2vVS+bGgOpHKyOA==[/tex]是群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的一个子群，证明：[tex=0.857x1.0]+NBI8Pm2vVS+bGgOpHKyOA==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的特征子群，当且仅当对[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的每个自同构[tex=0.571x0.786]G/buLKOLYVDEKMZ76t752w==[/tex]都是[tex=3.786x1.357]/hUAIv2XJLX3YXBqW5nP/A==[/tex].