设 [tex=2.286x1.357]Ag+wTR6A0dJofzIiroQ/6w==[/tex] 和 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 分别是矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的极小多项式和特征多项式, 求证:若不计重数, [tex=2.286x1.357]Ag+wTR6A0dJofzIiroQ/6w==[/tex] 和 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的根相同.
举一反三
- 设 [tex=2.286x1.357]Ag+wTR6A0dJofzIiroQ/6w==[/tex] 和 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 分别是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的极小多项式和特征多项式, 求 证: [tex=5.143x1.357]QtOMrZ69haSdy+8eaOCXPThxY/ZQBwWT2iB4pTitGmY=[/tex]
- 设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 和 [tex=2.286x1.357]Ag+wTR6A0dJofzIiroQ/6w==[/tex] 分别是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的特征多项式和极小多项式, [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 是一个多项式, 求证: [tex=2.071x1.357]rp59L9PX0S2MMXkUXRuI+w==[/tex] 是可逆矩阵的充要条件是 [tex=6.214x1.357]SCBkc5H4H7gXsFShGuBkXHGQ7amFMmuOXsrvhaPqenQ=[/tex] 或 [tex=6.571x1.357]uV9/iM1kG0lOsQMnXnwhcGBmW9K9yZg2k3NElTekBE0=[/tex].
- 设 [tex=9.214x1.357]oVr3Dwq4mCJpVeSnaB2gBSqRRI0mgMhbkNKKzB8hCuo=[/tex] 中的一个多项式 [tex=2.286x1.357]Ag+wTR6A0dJofzIiroQ/6w==[/tex] 称为 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 与 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 的一个最小公倍式, 如果1) [tex=9.429x1.357]m1EBBdKEXv9v36Fy4gQ/+7AP03BpeLROQalNuHobJ3s=[/tex]2) [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 与 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 的任一公倍式 (即 [tex=2.0x1.357]beH6DnGK6LEsYI2cIHxhuQ==[/tex] 中既能被 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 整除, 又能被 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 整除的多项式) 都是 [tex=2.286x1.357]Ag+wTR6A0dJofzIiroQ/6w==[/tex] 的倍式. (用 [tex=4.714x1.357]hvdzEuFkEvrNjuF8e4Z/2g==[/tex] 表示首项系数是 1 的那个最小公倍式, 证明 : 如果 [tex=4.143x1.357]9L2r5tlh3JJ32yY4a6m3XQ==[/tex] 的首项 系数都是 1 ,则 [tex=10.786x2.714]86eOesvSLJzo0xGCqVDGZjz8QI0p4+K1nnRoxp7vWiIU89VBq3OOdIIooTYE8A8C[/tex]
- 设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 和 [tex=2.286x1.357]Ag+wTR6A0dJofzIiroQ/6w==[/tex] 分别是 [tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex] 阶矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的特征多项式和极小多项式, [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 和 [tex=2.0x1.357]wQmo0YjuRVWrabWWlkPr1A==[/tex] 分别是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 的特征多项式和极小多项式, 证明以下结论等价:(1) [tex=1.786x1.214]s/df2ZE+BhF7kkKI1Rb3ww==[/tex] 没有公共的特征值;(2) [tex=6.214x1.357]SCBkc5H4H7gXsFShGuBkXHGQ7amFMmuOXsrvhaPqenQ=[/tex] 或 [tex=6.357x1.357]caKis2dC2LqCfpgA53ZEdvGx5Qywjby3edzRuLpAJG0=[/tex] 或 [tex=6.571x1.357]uV9/iM1kG0lOsQMnXnwhcGBmW9K9yZg2k3NElTekBE0=[/tex] 或 [tex=7.0x1.357]EpSjRuQlTjDSVlzg0VOvMsw01v/fSx/sY0UIyHqR3aw=[/tex](3) [tex=2.071x1.357]20lFRzgrG4cdjOfs4Ad43w==[/tex] 或 [tex=2.429x1.357]zSF49xDkgcLFUW1dOoW3sQ==[/tex] 或 [tex=2.071x1.357]rp59L9PX0S2MMXkUXRuI+w==[/tex] 或 [tex=2.143x1.357]6TBEH5K5PTgzQ0dw4oZE3g==[/tex] 是可逆矩阵.
- 多项式 [tex=2.286x1.357]Ag+wTR6A0dJofzIiroQ/6w==[/tex] 称为多项式[tex=4.0x1.357]9L2r5tlh3JJ32yY4a6m3XQ==[/tex] 的一个最小公倍式,如果 [tex=15.5x1.357]nrnjpqK3bEWJW1+UdsCccK/2RTClVVUu6eK6qfdHdBMiik55wS4tM18HYBUyWkeP[/tex] 的任一个公倍式都是 [tex=2.286x1.357]Ag+wTR6A0dJofzIiroQ/6w==[/tex]的倍式. 我们 以[tex=4.714x1.357]hvdzEuFkEvrNjuF8e4Z/2g==[/tex] 表示首项系数是1的那个最小拱北是，证明如果f(x),g(x)的首项系数都是1那么[tex=10.786x2.714]09luuoNG8w24I0/TapJvEfZP+UD+Xgop92yrc4VsDW2KX9OfSVeP1jQA89LejoWbB2evHWdaONSNvhLVCS5nFg==[/tex]