令[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是由数域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上一切形如[tex=5.0x2.786]jcCMHflCR8OS9TosV6N5vCJqTJglpGfpXaEtTjU9Hwwc+yuMmTz9DJiCpCAUqu2AnZyZpZuHDSyRmftXjpFJnQ==[/tex]的二阶方阵作成的集合.问：[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]对矩阵的普通加法与乘法是否作成环或域?

2022-07-23

令[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是由数域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上一切形如[tex=5.0x2.786]jcCMHflCR8OS9TosV6N5vCJqTJglpGfpXaEtTjU9Hwwc+yuMmTz9DJiCpCAUqu2AnZyZpZuHDSyRmftXjpFJnQ==[/tex]的二阶方阵作成的集合.问：[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]对矩阵的普通加法与乘法是否作成环或域?

答案：

解：易知[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]作成一个有单位元的可换环，但不一定作成域.例如，当 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]为实数域时，方阵[p=align:center][tex=8.071x3.357]No14tepOrgpLFcwU7iwUQT2Hsh1jJG8hjqqxz/WJoBSttH5U4lXGZMZiMPj5FDcfJas4spbHEH8szNSzvOAparSgseZUquPHs/qZMqrJRts=[/tex][tex=1.571x1.286]JC41PlEgSgk205Y6LQauww==[/tex]属于[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]，但[tex=3.643x1.357]CU1rJwElsWe/TL697hyPDw==[/tex]为退化矩阵故[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]在[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中没有逆元，从而此时[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]不能作成域.而当[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]为有理数域时，[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]能作成域.事实上，设[p=align:center][tex=6.643x2.786]No14tepOrgpLFcwU7iwUQeuJ+OhMtGEu+RyrwBjhuqmfMuj2TxgibcGFQL+3OgDpWbBWN7t7EYI8NL6zQffgB7GEKbfTVIPe3YUN1+iFQmk=[/tex][tex=1.786x1.286]plC6mt13dLw8X+ORGurrQA==[/tex]为[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中任一非零方阵(即[tex=1.286x1.214]rkgrF+YaaESwSQDjR6KfWg==[/tex]是不全为[tex=0.5x1.0]Sc0he7miKB3YF9rgXf2dDw==[/tex]的有理数)，则[p=align:center][tex=8.071x1.286]NKkEQmfV5rHULm/3MLnCzOmGbM2A/NfaBoi6XXWhYbI=[/tex]否则，设[tex=2.643x1.357]1u3XhOXVwmW3C2B6QBCBLQ==[/tex]，设[tex=2.643x1.357]1u3XhOXVwmW3C2B6QBCBLQ==[/tex]，则有[tex=3.071x1.214]JRJp7l3AbdVvzLzLkMXjOIJN/8m1zIGzLbQicf10ZGo=[/tex].于是必然[tex=2.214x1.286]A5273KdBXfw0EGkYSv16xg==[/tex]，且 [tex=3.857x2.357]9jqAriQHx3YM+fkuz1S/n4N0bgY/1qlz4sSUUua7arv87gPnzbDKARMwS++DXPhY[/tex]， 这是不可能的. 故[tex=3.071x1.286]zM8Lv3fNp4fJ+8+NSKgId0vdYDGbMy92P+tmALTrizk=[/tex]，从而[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]有逆方阵，且[p=align:center][tex=12.643x2.786]mgNkuKgxQTnA+qOI17gVpKXpN2oI2sZMUcD1VGZRdxV9a/bWknQHjZZwzZaIIeokubzqLTgjTv1o5m2UeaP2HtbGfkkr2EQqpn0MXmySP73V0GAcdVpJEna/KJKwQtXF[/tex]即[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]在[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中有逆元，故此时[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]作成域.

举一反三

内容

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设 [tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex] 与[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]是数域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上两个[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶相似方阵，[tex=2.0x1.286]1AAwljdoFdYyJmrOSwrSww==[/tex]为系数属于[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]的关于 [tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]一切多项式作成的集合.问：法则的[p=align:center] [tex=7.214x1.357]SAWIIIv+lX7ZoBG9d2U0d77RlNX09gLafDsvVDaL093ctFIELF5ILGa+3lQSyldo[/tex]是否为[tex=2.0x1.286]1AAwljdoFdYyJmrOSwrSww==[/tex]到[tex=2.071x1.286]2MnK7YwcQMyTw+3jA3EnXw==[/tex]的映射？其中[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]是系数属于[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]的任意多项式. 又 [tex=0.643x1.286]mAZcCN3VH331BvtKJs8BLg==[/tex] 是否为单射或满射?
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证明 :集合[tex=13.714x3.643]1SRQEQsw2EqIXC3oJ8f1M7rmJ5g5PphJRuOBiV8vox42Hu5SY+O1xru7XzJ70C5aGh9LLYHLTu6387EY6l+a3AP3FhSiN0GUZqyYWN13B7L0DRRwEyVund1aCDMmR/NRrxMHgjFwAirGlbPAaXvWMw==[/tex]，当[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 为有理数域时[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]还作成域,但当[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]为实数域时[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]不作成域.
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设[tex=15.143x1.571]E54eZ8R4U25cyKx0caDhv/ecp+XhuBvy8q3bDuZwl8iFl2hUEF+qiBPESPVImob1idcebmNK2IbzWrKPtNVZo9IFXVfNuEuFyIyMRzYmE3RX04u+OAcK2ms91Yi4jkXtyjHw3G4aYncetVlJRehvnQ==[/tex] 这是模 3 的高斯整环,其加法和乘法运算如同复数, 但系数要模 3. 试列出 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的乘法表. 并证明 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是个 ( 有 9 个元素的) 域.
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元素属于实数域[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的[tex=2.286x1.143]lL/KTIAdeAGi+eDPP+Lq6A==[/tex]矩阵，按矩阵加法和矩阵与数的乘法构成数域[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]上的一个线性空间。令[tex=6.429x2.786]I+EGXKUo/igvv1JkJ3Ur5Lo9GydmNBEEzbl1HNaWi+2n9rFZ3LqbRMwK3SoqwD+zDT/MHsKZ9WyS9J/1oLNUEg==[/tex]，在这线性空间中，变换[tex=9.214x1.357]fYQKpj9eA6w0E+c7xg7Ni1mcuzfO4FLY15xpBgPIMI8=[/tex]是一个线性变换，试求[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]的核的维数与一个基。
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设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个只有有限多个元素的交换环，且[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]没有零因子。证明[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个域。