设环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 对加法作成一个循环群，证明 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是交换环。

2022-05-27

设环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 对加法作成一个循环群，证明 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是交换环。

答案：

证明: 设 [tex=4.857x1.357]iOjQodXLp9DkuYuYBcZViA==[/tex], 那么，对于 [tex=3.357x1.214]G1J5E2OMqjHUKbCq4aIVQLpvgGqLLz1GNnC2iApHBbw=[/tex], 则存在整数 [tex=2.214x1.0]LjDD9R67Ha1wVgBC5zNcCQ==[/tex]使得[tex=10.714x2.714]AGsD8KARqqIiRvYEo+87bA4EvCJmb2RdiFqYuZSlW13w4C/+Yh35ZAK/VDFQkVMT[/tex] [tex=10.786x2.714]e/rrc3Hq2tx9pSXsNTBTJDPFH687/mmzCV8r8PiLeHsrQBDZG7zvYmCqIcU/pqwV[/tex],从而有[tex=6.0x1.357]jEfIgd+PiId7KC8vLfQRnoY+/HdX4lJAyVKyybm5zE0=[/tex][tex=11.0x1.5]8z1RKx8o89T/WTWO4rdZlkmKDWMUTWBLLOeYCivHYyM=[/tex]所以, [tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex] 是交换环.

举一反三

内容

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设[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]是环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]到环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的同态, 证明:[tex=2.929x1.357]7sm0+A17+tx/lVOuO5S85F70wS+QwHOEHbE76/O5U/A=[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想.
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设 [tex=0.643x1.214]4ssBDc1re7hhNB3dpzYmRg==[/tex] 为环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 到环 [tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex] 的满同态. 证明: 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是交换环, 则 [tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex] 也是交换环.
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设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元的环. 证明: 环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的可逆元全体 [tex=2.286x1.357]VSrq2EBbjY/lzOCsf2jcIg==[/tex] 关于环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的乘法构成群.
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[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]$ 是环.若[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的加群是循环群,则[tex=1.929x1.357]9FIhbzl5/ukvcSDgYTm40Q==[/tex]是交换环; [tex=2.286x1.357]axdHSNMdwcobwVSNlkH7lQ==[/tex]的子环只有 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex];[tex=1.857x1.357]ThrYSsXoU1UBNEIfeDOUdA==[/tex]当 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的元素有无限多个时 ,它的任一理想也有无限多个元 [tex=1.929x1.357]NIek8+t8ermGRBdOwRXFbA==[/tex]当 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的元素有限时,设 [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 为它的理想 ,则 [tex=4.929x1.357]//w0J9Ke3XWDGMAIDmCBvBiit8p9pBK4npdb/yt9WYg=[/tex] 的加法子群都是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想 .
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设[tex=2.786x1.357]FjXX3zhvxUYhb/kCMCOvZw==[/tex] 是一个加群. 定义 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 上的乘法运算为[p=align:center][tex=8.929x1.214]mwVSR6rB8ETCmgrBOZBfKC4aHESn61kUbnYwMS+t5bgAmPHK5UFN6E/t4QuDSXF/[/tex]证明: [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 关于加法和乘法构成一个环.