数域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上一切形如[tex=4.571x2.786]rwMhqGKFQ+j3l2qMx/grPiiPOoYHvJdaZyhTXVAufxzZwCZoxKyIIQaroW/3AtoVkAdWSVR6YVcE0DfUyiri4g==[/tex]的方阵对普通加法和乘法是否作成环？是否可换和有单位元？哪些元素有逆元？

2022-06-19

数域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上一切形如[tex=4.571x2.786]rwMhqGKFQ+j3l2qMx/grPiiPOoYHvJdaZyhTXVAufxzZwCZoxKyIIQaroW/3AtoVkAdWSVR6YVcE0DfUyiri4g==[/tex]的方阵对普通加法和乘法是否作成环？是否可换和有单位元？哪些元素有逆元？

答案：

解：[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上一切方阵[tex=4.571x2.786]jcCMHflCR8OS9TosV6N5vBUMczHgGOpzh6rG5ac/BmQbD19VEMbAuHUCNei+di9LGsXXGypy09PcsSRuHommXQ==[/tex]显然作成环，但不可换.例如[tex=30.0x2.786]rwMhqGKFQ+j3l2qMx/grPlDqebz+hQcyomtxF8PZwl8YBf9NrI1gbT5AIorL4pFlIvjZTZhb7TlnRglnbjWBnLGPBv0M9HcTm1ctRiziQHv7Cx8NlYJL1osg0NXfnP4MpckqGnmfwLWZB56Ke+FtEChdjrjrYZgmf48vf9TCjwpVzlomKw+0trAVWsTYQY//pLdA65jiFq3ww4lWPnkX7xlVgNtGV1ZvV+HTn1MIUPBgNcMZ53XPNod1VzVWnvGC/0uRMLPmgns4hkXQuMRdjbnzEGeXNdriD5AWPCtmTrUZjx+Gcy+9oBeC+k3mNG60/S1iwFvysTvrydKjSD4UzBdaOmmv158mjxIzbjpNQFsq/QBMD3RzRqrcNJLQC6IiNq4LyVnF3ilYmMaMNC+5aN6vCYT/NEzpuuR1YqifbX1fR6D704y8aZuAbEud9pnGmf90yjcE5j0lIrhX3zSpNQ==[/tex]二者不相等. 又显然一切方阵[tex=7.714x2.786]jcCMHflCR8OS9TosV6N5vILG7z2WM0INwabA7brW3btqSwluX3acLXWt5HneJPqVlnj066CYx9AVL6j0HYxnKb2YpSgXsjmpnQ9aR7hPLW4=[/tex]都是此环的左单位元，但无右单位元. 从而此环无单位元.

举一反三

内容

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设[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]是任一集合，[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]是一个域，[tex=1.5x1.286]M4BL4XSUqeFv2R/10ik/+w==[/tex]的下面子集对于函数的加法以及[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]的元素与函数的纯量乘法，是否构成域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上的线性空间：给定[tex=3.357x1.214]ND7vzagRLhLHvKfP60Twq0UCPFGyMqgaJHTQHnlHjeM=[/tex]，集合 [tex=12.214x1.571]atW3rKnWGsjLYU80g5JTL548+B1EYh529KfuK0Xv6luoV78Jm5VXJsFkh6IMKb2dAUTmbycRuQD39ZTo+dVagg==[/tex]。
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设[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]是任一集合，[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]是一个域，[tex=1.5x1.286]M4BL4XSUqeFv2R/10ik/+w==[/tex]的下面子集对于函数的加法以及[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]的元素与函数的纯量乘法，是否构成域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上的线性空间：给定[tex=3.357x1.214]ND7vzagRLhLHvKfP60Twq0UCPFGyMqgaJHTQHnlHjeM=[/tex]，且 [tex=3.214x1.357]AO0BvzzDsOS66cwIavF/O1eV6116uiZ0jwVWez9j0e8=[/tex]，集合[tex=18.643x1.286]QzxtyhZ7Yck1HUaj4maat6uQqNMHjT0YHo9AMVA+kAkRurvNPrsj1rbrUXp7OXEUWdGOLkGVVJ0d51ikH3GhDaLprXYMVFptB1arTgyO7IgbEqdnVvJiOJtGjjzFb9wa[/tex]。
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设在非空集合[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]中定义了加法与乘法两种运算且1）[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]对加法为群；2）[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]对乘法为幺半群；3）加法与乘法间有分配律，证明[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]为幺环。
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设[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]是任一集合，[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]是一个域，[tex=1.5x1.286]M4BL4XSUqeFv2R/10ik/+w==[/tex]的下面子集对于函数的加法以及[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]的元素与函数的纯量乘法，是否构成域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上的线性空间：给定[tex=2.643x1.071]rcLoUNRReX4W+UyL3fJJhw==[/tex]，给定[tex=2.429x1.071]CdElyxgmBcs2vFIiBFqqsg==[/tex]且[tex=2.357x1.286]2Mmma2novAuGDVa5i1QWeQ==[/tex]，集合[tex=8.214x1.571]atW3rKnWGsjLYU80g5JTL9uXghYaOBCIzEeMsnOdTiHCk+OadzJi0TxZr/6s0SEh[/tex]。
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证明 :集合[tex=13.714x3.643]1SRQEQsw2EqIXC3oJ8f1M7rmJ5g5PphJRuOBiV8vox42Hu5SY+O1xru7XzJ70C5aGh9LLYHLTu6387EY6l+a3AP3FhSiN0GUZqyYWN13B7L0DRRwEyVund1aCDMmR/NRrxMHgjFwAirGlbPAaXvWMw==[/tex]，当[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 为有理数域时[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]还作成域,但当[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]为实数域时[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]不作成域.