设[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]维向量空间[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一个子空间，且 [tex=6.571x1.071]ZyqBa4JfWRPKusGwA3PAKqa8sjPrakad+dZGuQBTVus=[/tex].证明：[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]在[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]中有不止一个余子空间。

2022-07-27

设[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]维向量空间[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一个子空间，且 [tex=6.571x1.071]ZyqBa4JfWRPKusGwA3PAKqa8sjPrakad+dZGuQBTVus=[/tex].证明：[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]在[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]中有不止一个余子空间。

答案：

证 设[tex=4.571x1.0]NovbxKl63Ey/milqTcbe/0nrWzBpfG/3681LyVWkKu4=[/tex]，取[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]的一个基为[tex=1.0x1.0]PKm+ED/8cg/u4z2vW4MmrQ==[/tex]，[tex=1.0x1.0]Xjt9Sr8uGYo3KPrqfLTqig==[/tex]，[tex=1.286x0.786]lRSLJav0cvc1uYdx/9plcw==[/tex]，[tex=1.0x1.0]+NgwFvvw1eLUbgUO9ItnGw==[/tex]，并将它们扩充为[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一个基[tex=1.0x1.0]PKm+ED/8cg/u4z2vW4MmrQ==[/tex]，[tex=1.286x0.786]lRSLJav0cvc1uYdx/9plcw==[/tex]，[tex=1.0x1.0]+NgwFvvw1eLUbgUO9ItnGw==[/tex]，[tex=0.929x1.214]xcMNZLHddwRY/dLHedZbHA==[/tex] ，[tex=1.286x0.786]lRSLJav0cvc1uYdx/9plcw==[/tex]，[tex=1.857x1.214]yWLmvCQ5Z7XaAcKr1jZPwA==[/tex]。令[tex=10.714x1.357]vzjWK2NBAEfnMomQJTTRleDn1oLpSqm2RsjqNnWMZyU2pikF5uHb3gX2r1zMJc2oGJ/vtI9KIjO5Aa/kXTnfhzELFvbLNmv3+DKPxZXk3xs=[/tex]则[tex=5.429x1.214]eqyaUGAe3b9o4YZ/ewP9pvManK5WZYe2PvWEizQYGPU=[/tex]。再令[tex=13.286x1.357]q/Cq3RTLLO1UVd/HOAAiua7+PmXOGBkxVlaBbIVaeWQ7WEbdALKcpoh/mvpqr1ADib7Zwq1rzipJ7l8qUDF6uKjf/eUUKy1lvSblukbRENCfjua8z5NIjmdnb6EvvaMu[/tex]由相关性定义容易看出[tex=1.0x1.0]PKm+ED/8cg/u4z2vW4MmrQ==[/tex]，[tex=1.286x0.786]lRSLJav0cvc1uYdx/9plcw==[/tex]，[tex=1.0x1.0]+NgwFvvw1eLUbgUO9ItnGw==[/tex]，[tex=0.929x1.214]xcMNZLHddwRY/dLHedZbHA==[/tex] ，[tex=1.286x0.786]lRSLJav0cvc1uYdx/9plcw==[/tex]，[tex=1.857x1.214]yWLmvCQ5Z7XaAcKr1jZPwA==[/tex]线性无关（自然 [tex=3.143x1.214]koombyr8RKpkBTnsnJQYx62Nok+cKESuPavEMHCI634=[/tex]，[tex=0.929x1.214]DuowWQHaeYF/MuF4+GH/wQ==[/tex]，[tex=1.286x0.786]lRSLJav0cvc1uYdx/9plcw==[/tex]，[tex=1.857x1.214]yWLmvCQ5Z7XaAcKr1jZPwA==[/tex]也线性无关），从而也是[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一个基。故又有 [tex=5.429x1.214]kWbzzQFDoyW4eHdDvlZ1cGfKJggW0+MepvOf1UJ6m2I=[/tex]。 因[tex=2.929x1.214]PyAnbk+y2hcqC422WStW1ih1EfTwko/nq4btoyDOEkk=[/tex]，[tex=3.786x1.214]j8tBsldL60ISqifUhLRKLJYrziZQuwrjwMiokiu6ZSs=[/tex]，所以[tex=5.714x1.214]koombyr8RKpkBTnsnJQYx8yqfPJgIArZn0hvhIC5gXkulCAa98a/ig+aA+joh4dv[/tex]，但 [tex=5.143x1.214]koombyr8RKpkBTnsnJQYx3qHzS2MQketRmWpdClOF5E=[/tex],故[tex=3.929x1.214]Omd8O4tLINbp+vBsNU1PSeRagv2TXMEXV4jBagOhN5k=[/tex]。[tex=1.357x1.214]hje+44pTBmSE2inkpKUcRg==[/tex]，[tex=1.357x1.214]ztgeeoEuax7xCxL39pAmeA==[/tex]都是[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]的余子空间，故[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]在[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]中的余子空间不止一个。

举一反三

内容

0
设[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]是一个向量空间，且[tex=3.429x1.357]z5i0UnrkSFEMYRY3fz3n5A==[/tex]。证明：[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]不可能表成它的两个真子空间的并集。
1
设 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上的一个线性空间, [tex=2.071x1.214]7bSiFAc8MqSuaEcV2mpUyA==[/tex] 是 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 的两个子空间, 且 [tex=4.071x1.214]kZydlf2V+tCUJpeZGXxcOQ==[/tex] 用 [tex=1.0x1.214]8mUw+AcJ35G5qKSnNmYGtA==[/tex] 表示平行于 [tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex] 在 [tex=0.714x1.0]X6uqj1A7AQmRFBpFsTbZTg==[/tex] 上的投影. 证明 : [tex=9.357x1.214]o0GWEfzq5TDkepkwDKjyN+LfAfHd2uiPCGxYXa+d+hCBKZWjtWTqv+52vhmAFssfZ9h1FnCIoCAOyS2Do/g/jzbXynXUjmMmBOccPFkG+cU=[/tex]
2
证明: 数域 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 上每一个 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维线性空间 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 都可以表示成 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]个一维子空间的直和.
3
设 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维向量空间, 则 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 上线性变换全体组成的向量空间的维数为未知类型：{'options': ['[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]', '[tex=4.214x2.357]IUzNW3ibLr/OWaHCXAUbVLoT+759jmG7AZpDREjIMyU=[/tex]', '[tex=1.0x1.214]uiEuUzx4dMJYCyEEsqGEJw==[/tex]', '无穷大'], 'type': 102}
4
设[tex=1.357x1.214]GKMenh0m+y3HeiRY6A5A1w==[/tex]、 [tex=1.357x1.214]ztgeeoEuax7xCxL39pAmeA==[/tex]是线性空间[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的两个子空间，证明[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的非空子集[tex=14.714x1.357]6nL/qxf68KXVUUmO+qjCaQ++Rd7t9NGfL/E2tCPdebVS+1nURGQlOM3epqeH1gyqoTSbH3+4VFLYsAm/wbwy/T1GqfTi2wyPemF64CYgODEXZAZ2cpI0D9se394laCRN[/tex]构成[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的子空间，这个子空间叫做[tex=1.357x1.214]GKMenh0m+y3HeiRY6A5A1w==[/tex]与[tex=1.357x1.214]ztgeeoEuax7xCxL39pAmeA==[/tex]的和子空间，记做[tex=3.857x1.214]1CZPLLWNxdeXS0vggfzNLA==[/tex]。