设 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵, 求证: 存在 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 [tex=1.786x1.214]s/df2ZE+BhF7kkKI1Rb3ww==[/tex], 使 [tex=5.357x1.143]Wbhpk6fsBNi2qM8u+WL7eg==[/tex]的充要条件是 [tex=3.286x1.0]ApBtKiFHAOgbksEzlkUgQcH0xASBEp8gGImmCF1jAes=[/tex]

2022-07-27

设 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵, 求证: 存在 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 [tex=1.786x1.214]s/df2ZE+BhF7kkKI1Rb3ww==[/tex], 使 [tex=5.357x1.143]Wbhpk6fsBNi2qM8u+WL7eg==[/tex]的充要条件是 [tex=3.286x1.0]ApBtKiFHAOgbksEzlkUgQcH0xASBEp8gGImmCF1jAes=[/tex]

答案：

证明 相似的矩阵具有相同的迹. 若 [tex=3.071x1.214]ns8kIZXrFCmP1KxZ+KYpcg==[/tex] 是主对角线上元素全为零的矩阵 (根据上题, 它是存在的), 则[tex=21.571x1.571]R2Qn8DlqShclTRK0HZMy8y2sukzZi1c4mllXeK4Q+bd4ChKlAON3P8vzlZZPSG0ScCjqCAt+xE9MIi5PR55ixPLOss+QIg520Vs7lHaF9uEXR8yQ5uQTS71YaKepNbav0wtQ5mVdc4a+oxrOc57NbTQP4w5WFX7fny94E7Uboj4=[/tex]故不失一般性, 可假定 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 是一个主对角线上元素全为零的矩阵. 设 [tex=3.429x1.357]9ii3ePWkrZadNyuHTDf4VmXRH8z/lMTbQaRQRiqWlZE=[/tex], 令 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是对角矩阵 [tex=10.0x1.357]bWwG5hBU3RcmmVsoI+hYil2HtfvtHOL814IMXq+Q3mKUeQvcEyc7V4Wrb1eXuCeuX8tOp6LM1fkr/zZId/QFL4FbArlmzFco2PjeFUFfQZc=[/tex], 且假定 [tex=0.714x1.214]DoNFZRjsvUBa9i6miU5BKg==[/tex] 互不相同.又设 [tex=3.571x1.357]7K89EAiqbgRkVf5frr2x25+2ay1ha16/s2MrqtRX+/U=[/tex], 则[tex=32.857x5.357]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[/tex]           [tex=12.071x5.214]ZGTtUfVHiJDAU4i+qE4bMjtsghV1VZiOeqcqKzr/DUbJjnmxKNPq8ePZj8tIToyynaPWqgWjbhSq66IJTLIKKvrEirf78zUgF+LsyOKgWmWiVCnRXjV07Wg/D7laSM/jI2u2BcdF6MmpeI4Y/ikG0wA05yJJ8epQu/0RlTvs/yox1kTesDhRsxJHMOuJPuBNvvxqQL6Et9j6/rg7JrE8Ed2Ee0yBW4XNeuwK+do/Y8sgGt8ifVR0iqdfu29uO4N1[/tex]当 [tex=2.143x1.214]XrDWhwB10ri9tFIK97tU8g==[/tex] 时, [tex=6.071x1.286]jzFlnNJyKKc4hxab6H+Z9KMN1YDqD1jmkZJU8x6PKJmF8eDMs6QopEQbSX+B5Bkr[/tex], 因此 [tex=4.429x2.429]guZw8oCTX/TDtwk/oSi/MWU7n3f0bxx1k3x/PKuiYc9Me9gCaqK2e54rcJnze7Ft[/tex], 矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 存在.

举一反三

内容

0
设 [tex=1.786x1.214]s/df2ZE+BhF7kkKI1Rb3ww==[/tex] 都是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶半正定实对称矩阵, 证明: [tex=3.071x1.0]0jm1norro6DslpbfZCCeIA==[/tex] 的充要条件是 [tex=4.857x1.357]ApBtKiFHAOgbksEzlkUgQasHYMxKUd8U1Fig9EONEBg=[/tex]
1
对任意[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]，必有[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]和[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]，使[tex=4.786x1.143]bjug+2fCbFahifOyjMZ6iQ==[/tex]，且 [tex=3.143x1.143]57nkaTxHZKLdDQlG6CJo10QNnuiWY4bAdibLZ4zTNVk=[/tex]，[tex=3.857x1.286]AWQaojZoslrg4RmkgN7Iew==[/tex]。
2
求证: [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶方阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是奇异矩阵的充要条件是存在 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维非零列向量 [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex], 使 [tex=2.643x1.0]Luk4dywqmDJgAqza1pE8oQ==[/tex]
3
设 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 是数域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵集合到 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 的一个映射, 它满足下列条件:(1) 对任意的 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 [tex=11.857x1.357]PyBoS3zBK0M8dFy5nc2BCQAjvq9LapSCVSEPLvCboCNL9Sf89YDDNJnh9P6XU+Xa[/tex](2) 对任意的 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 和 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 中数 [tex=7.143x1.357]ZssA/FjDDGKlA7//o6lvBHjGIYzZWXwRor3cGphMPPA=[/tex](3) 对任意的 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 [tex=9.071x1.357]CV7XimFyNvpshBoHaexhcrFdFwXW4pEFstEvGviliLE=[/tex](4) [tex=4.143x1.357]mTjc3HPxil5qpbqmEffFWqjszfkzs0w4AuinGz3AXRg=[/tex]求证: [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 就是迹, 即 [tex=4.714x1.357]abvMETy3K96uBRzmzh1OP8sPIldqFdFpE5NVrVc0Ciw=[/tex] 对一切 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 成立.
4
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵且有 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 个不同的特征值，若 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 也是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵且 [tex=3.857x1.0]ooePFz0xjtusf6vpqQWa8A==[/tex], 求证: 存在次数不超过 [tex=1.929x1.143]qMmLG3OT6I+UYFeehawKuA==[/tex] 的多项式 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex], 使 [tex=3.857x1.357]XcfmjFeCm4NAC3RIoBAlfg==[/tex]