证明：若单调有界函数[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]可取到[tex=1.857x1.357]RATHhMM+aZZTABv/ShIDpw==[/tex],[tex=1.714x1.357]vWo7kUqXgseeDQ/rfab+vQ==[/tex]之间的一切值，则[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]在[tex=2.214x1.357]mpyYBdP7k8056w1o+qOOxw==[/tex]连续.

2022-07-26

证明：若单调有界函数[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]可取到[tex=1.857x1.357]RATHhMM+aZZTABv/ShIDpw==[/tex],[tex=1.714x1.357]vWo7kUqXgseeDQ/rfab+vQ==[/tex]之间的一切值，则[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]在[tex=2.214x1.357]mpyYBdP7k8056w1o+qOOxw==[/tex]连续.

答案：

不妨设[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]为单调增加有界函数.由定理知，[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]的端点[tex=1.786x1.357]wjZyGUzhAB7QUmf/MfcI1g==[/tex]处的右（左）极限存在，此时[tex=11.5x1.357]Lg4vTyivDpTH7013Bq7y9KsyO7acJ8wb4yLPYFaKLu4=[/tex]，若不然，必有[tex=24.071x2.786]n8MSdXc0/t0AN4IOEXZgn8+lhdtfzIelwqaJTBvPwMNmYtBo1FboqlFpUBtUStr1Vpk5mlTDdIbnCmqBXWg8mCuLjo+AdBrHTyamvR9DnzY=[/tex]，于是由[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]可取到[tex=1.857x1.357]RATHhMM+aZZTABv/ShIDpw==[/tex],[tex=1.714x1.357]vWo7kUqXgseeDQ/rfab+vQ==[/tex]之间的一切值，得对任何[tex=16.643x1.357]z61UJYcbko+iYjPTB5UjQqOOhJyGgG6j71RZzOIugC4=[/tex]，必有[tex=3.429x1.357]Mq3GwyqMaKoicpYPVcquyw==[/tex]，使得[tex=3.143x1.357]5JNFVqgxGFTFxozuVWdiUg==[/tex]，此与[tex=17.929x2.786]W/hPcEGaRqXDjN+RVinfPIsbw1jPmTO5TeKPKeded5tmWPStPjvJqc3KmiE6hqrtuvkNqIEkULfNpEYI56znsA==[/tex]矛盾.由此可知[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=1.786x1.357]wjZyGUzhAB7QUmf/MfcI1g==[/tex]右（左）连续.若有[tex=3.786x1.357]gYtur2VyecT4eNZA+CjWlHfG5r8Jokh4u32P4jo65qs=[/tex]，使[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=0.929x1.0]mQGdf3XTfQx0Qped0rrM9g==[/tex]点不连续。由结论知，[tex=0.929x1.0]mQGdf3XTfQx0Qped0rrM9g==[/tex]必为第一类间断点，即[tex=3.643x1.357]PhgDLAfmKs/IexBwKqNXctrBn15Vg9RFoNHFS8x8ntQ=[/tex]和[tex=3.5x1.357]r6H1hZpDgTeJfS5i6PNBRZOKdeAlgz8x+zOjXlTyV5o=[/tex]存在，但[tex=8.643x1.357]PhgDLAfmKs/IexBwKqNXcs5KpAdvNBlDKLKxFiTwJ0TwRGCtpjuxcGI88G1m/Nz6dxW+PbWgLwsldV0pcA0ptw==[/tex].又因[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]为单调增函数，故[tex=12.357x1.357]0U4TticisfA3gN/QE+Bpi5j1UI4KG1yIWdmcpXO7PCEyBXOrviKXiFpGHZZoK5ywZs9EFwHYb4iruXnyNogr5GH/0b7ptOdFk40yjpiJu3M=[/tex]或[tex=12.357x1.357]0U4TticisfA3gN/QE+Bpi3Mcq0Qgn+fN8EFDrZz22VIkdO13ydtaU22S7qOnKfDSssjQWszX4vHQ8AC4Z2ltpN02QWvxUdCiXLekMU0VynM=[/tex]，这时[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]取不到[tex=8.714x1.357]nSMKiPqSEp45TdJlo4vg6ITk5sl27DzcAO1ZLvzUh+brEL1KU+vu+2DIxTeu0n4UYAnyJFltsH+K5Grdx09otg==[/tex]直接异于[tex=2.357x1.357]5s1Pyp2g/W5DyoDffIRFvJb8dtW9qy/mmMOGrha2vV4=[/tex]的值，这与已知矛盾，故假设不成立.于是[tex=1.857x1.357]sBGRsVJ0Y3fPPi7d5ztPoA==[/tex]在[tex=2.0x1.357]iavJqAznijPyoXL3RTXYGA==[/tex]连续.同理，当[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]为单调减少有界函数时，[tex=1.857x1.357]sBGRsVJ0Y3fPPi7d5ztPoA==[/tex]在[tex=2.0x1.357]iavJqAznijPyoXL3RTXYGA==[/tex]连续.从而[tex=1.857x1.357]sBGRsVJ0Y3fPPi7d5ztPoA==[/tex]在[tex=2.0x1.357]iavJqAznijPyoXL3RTXYGA==[/tex]连续.

举一反三

内容

0
证明 :若函数[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]在有限或无穷的区间(a,b)内有有界的导数[tex=2.214x1.429]i+dnt0m+Vi0IpEF4DSu/zA==[/tex]则f(x)在(a,b)中一致连续.
1
设 [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex] 在 [tex=1.857x1.357]Q20AODdbLvkRLRR8X13dbw==[/tex] 上连续，且对一切不大于正整数 [tex=0.857x1.0]eZVLP1ITe5Fh9el9iM09rg==[/tex] 的非负整数 [tex=0.643x0.786]h6IfGOxBlahC8le5jX4WiA==[/tex]，都有 [tex=7.0x2.857]EKLNaDtnowPS+Qzu8M+EvwsmIax/ic7gDdgbJO1pTx4=[/tex] ，试证 [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex] 在 [tex=2.214x1.357]mpyYBdP7k8056w1o+qOOxw==[/tex] 内至少有 [tex=2.571x1.143]aL34daGfI+wbuu52QYkcpg==[/tex] 个零点.
2
假定[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]、[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]和[tex=1.929x1.357]PF3ys5sCH7xL9V4l3n5Ang==[/tex]为函数，使得[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是[tex=3.429x1.357]pweQz6vYdJSfN1APBJuJ8Q==[/tex]的，[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]是[tex=3.5x1.357]i1h+gXObWOZdoFBEPZ7BbQ==[/tex]的。证明[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是[tex=3.5x1.357]i1h+gXObWOZdoFBEPZ7BbQ==[/tex]的。
3
如果[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex] 在[tex=1.857x1.357]Q20AODdbLvkRLRR8X13dbw==[/tex]上是连续的,几乎在[tex=1.857x1.357]Q20AODdbLvkRLRR8X13dbw==[/tex]上每点,[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]之一切导出数都不是负的,而 [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]至少有一个导出数取[tex=1.786x1.071]ffZT3HtkPSdNVmi3u4ww7w==[/tex]的点之全体至多是可列的,那末[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex] 是一增加函数.
4
设[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]在[tex=1.857x1.357]Q20AODdbLvkRLRR8X13dbw==[/tex]上连续，在[tex=2.214x1.357]mpyYBdP7k8056w1o+qOOxw==[/tex]内可导，且[tex=2.857x1.071]1GIuOTeVWCaxYOtDNPK2Tw==[/tex]，证明：存在[tex=3.286x1.357]EV4pc+LBkNBOhd4NZUA5NQ==[/tex]，使得[tex=16.286x2.786]jyQ23P6uTtm4obItveVbez5O+mx1c67/+5/byH3o0iCFo5xckzlPpltA0c+p+kPIxdJrBAlIVa1IL6DW9wh6yphZezcV5hEMxr+1xFTAmucYG3ZQa4NovK4MTGz+fVtwI1jv/fs+BUguSajpuqjoHpYA5uwwMF/iBd8kXHUPEuA=[/tex]