证明: 若闭区间 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上的单调有界函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 能取到 [tex=1.857x1.357]+oWS0hM0HogLU9xbRXppWQ==[/tex] 和 [tex=1.714x1.357]6GTYhzmnTgdXYb7xz1/D/Q==[/tex] 之间的一切值,则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上的连续函数.

2022-06-04

证明: 若闭区间 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上的单调有界函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 能取到 [tex=1.857x1.357]+oWS0hM0HogLU9xbRXppWQ==[/tex] 和 [tex=1.714x1.357]6GTYhzmnTgdXYb7xz1/D/Q==[/tex] 之间的一切值,则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上的连续函数.

答案：

采用反证法,不妨设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 单调增加,若 [tex=3.357x1.357]UI1me4Xow5mZKcFxZ6WqYJjjK9uBqdNmjwqWmBvtIAQ=[/tex] 是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的不连续点,则 [tex=2.571x1.357]omY6HoIrtJqBbv1H4/TADY24v73VnCJ8e8hbXJ9NlMk=[/tex] 与 [tex=2.571x1.357]8gE9U1zCSCtljdafe3dWAfye+aCsZnjtNWGW2dWVMeQ=[/tex] 都存在,且 [tex=12.571x1.357]uX8Eqk8rlZlLujpeDptdpQ6WAjstzlE/LEpJMYYPxhqEt2atBwfETm1SiTQxgBQ/YM9XPDlN9VA3k36+CARMtA==[/tex],于是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 取不到开区间 [tex=6.286x1.357]4IW2+w6MzSBb/vzAPVJWpG/sRdw0H6hGIq7oDGaQwJ/YAa4U4i3HxlXCEkOgT3w+[/tex] 中异于 [tex=1.786x1.357]cpoSdshz0A/MDYN8DKkXQ1mjW5+uv3lhmtTzXmXDzKI=[/tex] 的值,与条件矛盾;若 [tex=1.929x0.786]qBxW1Wco1uHB6W+VkCK3Kw==[/tex] 是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的不连续点,则 [tex=2.643x1.357]qTLlBYZErwMrp1mQTkeavQ==[/tex] 存在,且 [tex=8.786x1.357]CHQAPyWomFVjGotNfS6XwyPfCIgotNXTgIl/N6u6ysE=[/tex], 于是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 取不到开区间 [tex=6.143x1.357]nmYNssUaxbEN1ipk2VOtFOVzCuqQxbHtQo0ek3+Qke4=[/tex] 中的值,也与条件矛盾;同样可以证明 [tex=2.357x1.0]hseaIvIEK5vx8PqohNAPrg==[/tex] 也不可能是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的不连续点.

举一反三

内容

0
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续,证明： [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上恒为常数的充要条件是：对于任何 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上的连续函数 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 且 [tex=6.0x2.857]yINAHOXKHG7ruMsL/vkvBEYj6HewtfoBmgOlOkEMcJy2RxHEgnyJ8vpzCdsSLoLZ[/tex], 总有[tex=8.143x2.857]7gcaGQKU+5R98xRnVkbRSL4g1A5RDN/b3vHA6tm2w1heBr45R4BeYC3/TzlbrSns[/tex]
1
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上一有限实函数,那么下列两件事等价 :(1) [tex=1.857x1.357]QwcZRP/k6GQjt3RgosTUtg==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]5BzgMyDa9DcLuS67nNtOAQ==[/tex] 上满足 [tex=4.214x1.214]GhIKRZ36/tUBZOCVzb56Tg==[/tex] 条件;(2) [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上某个有界可积函数的不定积分.
2
下列命题中正确的是. 未知类型：{'options': ['若\xa0[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在\xa0[tex=2.0x1.357]5BzgMyDa9DcLuS67nNtOAQ==[/tex] 中有界, 则\xa0[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在\xa0[tex=2.0x1.357]uQo0Qwms4Bgi6pleNWBbfw==[/tex] 上连续.', '若\xa0[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在\xa0[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上有最大值、最小值,则\xa0[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在\xa0[tex=2.0x1.357]uQo0Qwms4Bgi6pleNWBbfw==[/tex] 上连续.', '若\xa0[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在\xa0[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上无界,则\xa0[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在\xa0[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上不连续.', '若\xa0[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在\xa0[tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内连续,则\xa0[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在\xa0[tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内有最大值、最小值.'], 'type': 102}
3
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续, 且 [tex=6.429x2.857]v8dYDmjeifbMxF1xMKtGGOROme7UMSqlNsxt5NS/Crc=[/tex], 证明 [tex=1.857x1.357]sBGRsVJ0Y3fPPi7d5ztPoA==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]iavJqAznijPyoXL3RTXYGA==[/tex] 上恒为 0 .
4
证明：若函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在区间[tex=2.0x1.357]uQo0Qwms4Bgi6pleNWBbfw==[/tex]，[tex=1.929x1.357]hp45PQvrPvS7e7qgE3Pr1A==[/tex]上单调增加(或单调减少 )，则[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在区间[tex=2.0x1.357]lkx3C2xRSVDjN5Vayvd/5g==[/tex]上单调增加(或单调减少).